新年のご挨拶

皆様に新年のご挨拶を申し上げます．本年もどうぞよろしくお願い申し上げます．

さて今年2017年の2017が素数ということで，それをお題に何か述べるべきかと存じまして一席講じます（なんで落語みたいになっているのでしょうか）．

2017は4で割ると1余るので，ガウスの整数環 $\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$ では2つの次数1の素イデアルの積に分解します．奇素数 $p$ が $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ であることと，ガウスの整数環で分解することが同値であることは有名で，多くの方が触れているようです．2017は8で割っても1余ることを注意しておきます．

別の話題として，虚2次体 $k=\mathbb{Q}(\sqrt{-2017})$ に注目してみましょう．$k$ の類数は $12$ です．（pari-gp だと quadclassunit(-2017) で， [12, [12], [Qfb(19, 8, 107)], 1] という結果が得られます．これは，類数が 12, 位数 12 の巡回群で，生成元となる2元2次形式が $19x^2+8xy+107y^2$ であると読みます．最後の 1 は単数基準で，虚2次体の場合はつねにそうです．）

実は，「虚2次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ の類数が 4 で割り切れるためには $p\equiv 1(\mathrm{mod}8)$ が必要十分条件」であることが知られています（Redei-Reichard）．言い換えると，「虚2次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ の類数が 4 で割り切れるためには $p$ が $\mathbb{Q}({\zeta }_8)$ で完全分解すること必要十分条件」．

「虚2次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ の類数が 2 で割り切れるためには $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ が必要十分条件」はガウスの種の理論（を2次体の数論の言葉で述べたもの）から従うので，上に述べた事実はその精密化ということができるでしょう．この場合も，言い換えは「虚2次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ の類数が 2 で割り切れるためには $p$ が $\mathbb{Q}({\zeta }_4)$ で完全分解すること必要十分条件」．

この調子で，$\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ の類数が 2冪で割り切れる条件が， $p$ の 2 冪での余りが 1, と言えるときれいですが，人生はそのようにsimpleではないのでした．素数17や97は $17\equiv 97\equiv 1(\mathrm{mod}16)$ ですが，$\mathbb{Q}(\sqrt{-17})$, $\mathbb{Q}(\sqrt{-97})$ の類数は $4$ で，期待したように $8$ で割り切れてはいません．

この場合の必要十分条件は次のようになることが知られています（Barrucand and Cohn）：「虚2次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ の類数が 16 で割り切れるためには $p=x^2+32y^2$ となる整数 $x,y$が存在することが必要十分条件」．さらに，「虚2次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ の類数が 16 で割り切れるためには，$p$ が $\mathbb{Q}({\zeta }_8,\sqrt{1+\sqrt{2}})$ で完全分解することが必要十分条件」．

例えば$p=41,113,137$などがそうで，この3っつについては $\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ の類数は 8 です．2017 は $x^2+32y^2$という表示を持ちませんが（全探索で分かります），それは$k=\mathbb{Q}(\sqrt{-2017})$ の類数が 12 で，8 では割り切れないことと符合します．最近の年号だと， $1993={29}^2+32\cdot 6^2$, もしくは $2113={31}^2+32\cdot 6^2$ が該当します．$\mathbb{Q}\sqrt{-1993})$ の類数は 24, $\mathbb{Q}(\sqrt{-2113})$ の類数は 16です．

すると，$\mathbf{Q}(\sqrt{-p})$ の類数が2冪 $2^e$ で割り切れる必要十分条件が，有理数体上のガロア拡大$\mathrm{\Sigma }(e)$ で素数 $p$ が完全分解することである，と言えるような，代数体 $\mathrm{\Sigma }(e)$ の存在を期待したくなります．このような体を「支配体（governing field）」と呼びます．

今回は $\mathbf{Q}(\sqrt{-p})$, $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ の類数の2冪での可除性のみ扱いましたが，判別式 $D$ を固定して，$\mathbb{Q}(\sqrt{Dp})$, の $p$ を動かした2次体の族について，その族のメンバーとなる2次体のイデアル類群 $C(Dp)$ の 2冪ランク（2ランクは $C(Dp)/C(Dp{)}^2$ の体 $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ 上のベクトル空間としての次元，4ランクは $C(Dp{)}^2/C(Dp{)}^4$ の同じ次元）について考えます．

支配体については，山本芳彦先生の「数学」40巻2号，1988年，に掲載された論説をご覧ください（オンラインで参照できます）．

幾つか誤植（平方根の記号の入れ忘れなど）を訂正し，山本先生の論説へのリンクを貼りました．誤植のご指摘ありがとうございました．