木曜日はセミナ：Minimal Ramification Problem

前期最後の北陸数論セミナ．今日はminimal ramification problemについて．
Kisilevsky and Sonnの次の論文を中心として，最近の進展（講演者のNさんのお仕事も含めて）の紹介だった：

On the minimal ramification problem for ℓ-groups

Hershy Kisilevsky and Jack Sonn (2010).

Compositio Mathematica,
Volume 146, Issue 03, May 2010 pp 599-606

http://journals.cambridge.org/abstract_S0010437X10004719

（arXivだと，http://arxiv.org/abs/0811.2978 と思われる）．

素数$l$に対して，$l$群$G$でランク（$G^{{ab}}:=G/[G, G]$について$G^{{ab}}/(G^{ab})^{l}$の$\mathbf{Z}/l\mathbf{Z}$上の次元，$\mathbf{Z}$は有理整数環）が$n>1$であるものを考える．最小分岐問題とは，$G$を，Galois拡大$K/\mathbf{Q}$ ($\mathbf{Q}$は有理数体）で，たかだか$n$個の素点が分岐するようなもののGalois群として実現できるか，と言う問題をいうらしい．

上の論文では，ある特別な$l$群のクラスに対して，そのクラスに属する$l$群については肯定的であることを示している．さらに進行中の様子については，上の著者らの共同研究者であるNeftinさんのプレゼンなどが参考になる．