講義開始

年明けの講義が始まった．午前中の代数の講義では，これまで初等整数論を題材に代数の基礎の話をしてきた．少し趣向を変えて，暗号への応用を紹介した．

初等整数論の一つのゴールは，有限体の乗法群が巡回群であること（原始根の存在）である．年末に原始根の存在と離散対数まで達したので，関連してDiffie-Hellmanの鍵共有と，Elgamal暗号を紹介した．

公開鍵暗号を解説するときは，現実の応用例として，インターネットで秘密の情報をやり取りするときに使われているのですよ，という事を言ったものだ．しかし，最近だと，デジタルコンテンツの保護にも使われる．DTCPやHDCPといった，デジタルコンテンツを（例えば再生機器とテレビの間で）通信する際の情報保護の規格では，楕円Diffie-Hellman鍵共有が使われているそうだ．

お昼を挟んで，午後は数学英語．受講者が少ないので，ゼミ形式で，英語で書かれた易しい雑誌記事，書籍の一部などを読んでいる．

Euclidによる，素数が有限個ではない，ことの証明は，はじめの $n$ 個の素数 $p_1=2,p_2=3,\dots ,p_n$ をすべて掛けて，それに $1$ 加えた数 $p_n\mathrm{\#}+1$（ただし $p_n\mathrm{\#}$ は，$p_n$と，それより小さい素数すべての積を表す）の素因子が，これら $n$ 個のどれとも異なることによる．

今回は，$p_n\mathrm{\#}-1$ についても同じことが言える上に， $p_n\mathrm{\#}\pm 1$ の素因子に共通するものがないので，$p_n$ より大きく， $p_n\mathrm{\#}+1$ かそれより小さい素数が少なくとも2つある，というような話．以前このブログでも取り上げたことのある，Aldaz-Bravoの短いノートである．

$p_n\mathrm{\#}+1$は素数になることもならないこともあるが，無限回素数になるのか？といったことはまだわかっていないそうだ（Weisstein, Eric W. "Euclid Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource）．なので，$p_n\mathrm{\#}-1$ についての同様の疑問もわかっていないのではないかと思う．