定例のセミナ

金沢での定例のセミナ，今年度２回目でした．ノートからちょっと抜き書き．

$k$を有限次代数体とする．素数$p$を固定して，$k$の${\mathbf{Z}}_p$拡大（つまり，$k$のGalois拡大で，Galois群が${\mathbf{Z}}_p$の加法群と同型なもの）すべての合成体を$\tilde{k}$と置くと，$\tilde{k}/k$はGalois拡大で，そのGalois群は${\mathbf{Z}}_p^{r_2+1+\delta }$, ($r_2=r_2(k)$は$k$の虚素点の個数，$\delta =\delta (k,p)\ge 0$はLeopoldt defectとも呼ばれる非負整数で，$\delta (k,p)=0$が$k$と$p$に対するLeopoldt予想）である．

$L(\tilde{k})$を$\tilde{k}$の最大不分岐Abel $p$拡大とし，$X=\text{Gal}(L(\tilde{k})/\tilde{k})$をGalois群とする．$X$には完備群環$\mathrm{\Lambda }={\mathbf{Z}}_p[[\text{Gal}(\tilde{k}/k)]]$が共役によって作用する．Iwasawa-Greenbergにより，$X$は$\mathrm{\Lambda }$加群として有限生成かつねじれ加群であることが示されている．

今回のセミナーの主眼は，"Generalized Greenberg Conjecture" (GGC), すなわち，$X$は$\mathrm{\Lambda }$加群として "pseudo-null", つまり，$\mathrm{\Lambda }$加群としてのannihilatorイデアル ${\text{Ann}}_{\mathrm{\Lambda }}(X)$の高さが$2$以上であろう，という予想であった．特に，$k$が虚2次体，$p=3$の場合を主に論じた．

日々些事に紛れてしまいがちですが，こういう機会を持つと，なんというか，元気が出ますね．