Wieferich素数のこと2

2^(p-1)=1 (mod p^2)となる素数をWieferich素数といい、これは現在まで1093, 3511しか見つかっていないのだった．
この性質を満たす素数が稀なようだということは、多くの人が気がついていたと思われる．
たとえば、N. H. Abelが、1828年刊行のJ. fur die reine und angewandte Mathematik（いわゆるCrelle Journal）の第3巻に

「μは素数、αは1よりも大でμよりも小なる整数とするとき、α^(μ-1)-1がμ^2で割り切れることがあるか？」

という問題を出している．当時のCrelle Journalは、AbelやDirichletらの論文の他に、読者への問題といったコーナーがあった．上記はそのコーナーへのAbelの出題である．原文が、
Crelle誌の当該号の212ページへ進むと見られる（ページ末尾）．

このことはもちろん、私が徒然にCrelle Journalをめくっていて見つけたというわけではない．高木貞治の「 近世数学史談・数学雑談」の史談で、Abelを扱ったくだりの15章「パリからベルリンへ」の末尾付近で触れているのをみたのである．上記の引用も高木訳による．

Abel はFermat予想について考えていたことがあることは、たとえばRibenboimのCanadian Math. Bulletin, vol. 20(2), 229-242,1977の論文にも触れられている．Fermat曲線上の整数点のdescentにより矛盾を導こうとしたのだろうとRibenboim は想像している．解が有限個であることは、FaltingsによるMordell予想の解決（1983年）により示された．Fermat予想そのものは1994年にA. Wilesにより解決された（この論文も検索するとヒットする）．

最初に挙げた性質を満たす素数をWieferichの名前で呼ぶようになったのは、Fermat予想の第一の場合（pが奇素数のとき、x^p+y^p = z^pかつ積xyzがpで割り切れないような整数は存在しない）がそのような素数に対しては正しいことを、Wieferichが1909年に示して以来だろう．AbelがCrelle誌に問題を出したとき、既にWieferichの結果を持っていたかいなかったかと詮索するのは、いい暇つぶしかもしれない．