木曜日はセミナ：Cohen-Lenstra Heuristics

恒例の，北陸数論セミナへ．今日は自分がしゃべる番で，H. CohenとH. W. Lenstraの，いわゆるCohen-Lenstra Heuristics（以下CLHと略）についての雑談をした．当該論文はこれ（PDF）．参加者は他に2人で，ひっそりと．

CLHが紹介されるときには，しばしば，奇素数$l$を固定して，判別式$D$を持つ虚2次体の類数（イデアル類群の位数）$h(D)$が$l$で割り切れないような$D$の密度の評価式として述べられるようだ：



この式がどうもうまく表示されない．念のため別の方法でも書いておく：


これはもちろん誤りではないが，CLHはより根本的な予想を述べたものである．つまり，虚2次体のイデアル類群の奇部分が，「ランダムに分布している」，という主張である．つまり，奇数位数の有限Abel群の同型類全体${\mathcal{A}}_o$の上で定義されている関数$f$に対して，$M_{-}(f)$と$M_0(f)$をを次のように定義する:



こちらもうまく表示されないので，別の手段でも書いておこう：

$$M_0(f):=\underset{X\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sum _{[G]\in {\mathcal{A}}_o(X)}\frac{f([G])}{|\text{Aut}([G])|}}{\sum _{[G]\in {\mathcal{A}}_o(X)}\frac{1}{|\text{Aut}([G])|}},$$
ただし，正の実数 $X$ に対して${\mathcal{A}}_o(X)$は奇数位数の有限Abel群で位数が$X$以下のものの同型類全体，$\text{Aut}(G)$は$G$の自己同型群，$|S|$は集合$S$の元の個数，である．

このとき，虚2次体のイデアル類群の奇部分のランダムな分布（Cohen-Lenstraの論文で，Fundamental Assumptionとされているもの）とは，次のように定式化される：
$$M_{-}(f)=M_0(f).$$
右辺が，純群論的な量であることに注意されたい．

$f$として，考えている群に対する色々な性質の特性関数をとり，右辺を計算することで，イデアル類群の奇部分が同じ性質を満たす虚2次体の「密度」が求まる，という仕組みである．例えば奇素数$l$を取り，$G$の位数が$l$で割り切れないとき$1$, そうでないとき$0$とすると，上に述べたような無限積が現れる．

Cohen-Lenstraの論文の大半が，このような計算をするための枠組みの解説に費やされている．しかも，有限Abel群ではなく，Dedekind整域$A$を固定して，有限$A$加群に対して定式化されている．実際に2次体の密度の話がされるのは，最後の節だけである．

また，2次体だけでなく，より高次の体の族を扱おうという試みも当初からなされているが，より一層speculativeになる．

セミナではまた，関数体の場合の話も少しだけ触れた．

MathJaxを使ってblog記事を書いてみたが，ちょっともどかしい．普段通りにエディタの上でTeXの文書を書き，それをblogの編集画面に貼り付けるのが一番簡単なようである．また，blog記事のpreview画面では，意図したようにTeXでレンダリングされないこともたまにある．難しいものである．補助的に，オンラインで使えるEquation Editorも使用した．

MathJaxを導入してみた

blogに数式を表示する為に，MathJaxを導入してみた（つもり）．この投稿はMathJaxのテストなので，内容は特にないし，すぐに消すかもしれない．

MathJaxの導入のために参照したのは，黒木玄さんのこの頁．

まずRiemann zeta関数：$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$. 但し$\mathrm{\Re }(s)>1$. ついで，ディスプレイ数式は，$$\zeta (s)=\prod _p{(1-\frac{1}{p^s})}^{-1},$$ 積はすべての素数$p$に渡り，$s$については先と同様に実部が$1$以上．

おおむねうまくいっているように見える．IE8を使うとレンダリングが非常に遅くなるらしいが，好んでIE8を使う人もいないだろうから，よいことにする．

人間の三つの弱点

「滅多に更新されない」と揶揄されたりもするこのblogだが，年度も変わったことだし，などと理由を付けて閑文字を連ねる．しかし，引用である：

人類が，何であれ大きな事業に着すする機会に直面したときに，私たちの努力をはなはだしく妨げる人間の弱点がいつも三つある．第一に，私たちは共通の目標を設定して，合意に達することがなかなかできない．第二に，十分な資金を調達できない．第三に，惨憺たる失敗を恐れてしまう．（F. ダイソン，「叛逆としての科学―本を語り、文化を読む22章」第18章，p. 265）

未曾有の大災害から三週間が過ぎて，漸く，その先のことを考えなければならないと多くの人が思う一方で，その道のりの困難で遼遠なこともつくずく思われる．

……それに打ち勝つために科学技術の魔力を何も使わなかった．彼らが勝利を収めるのに必要とされたのは，ストレスにさらされた人間が発揮することのできる美徳のすべて，すなわち，強靱さ，勇気，無私の心，洞察力，常識，ユーモアのセンスだった．（同，p. 268）

平安が皆様の上にあるよう祈ります．