木曜日はセミナ：Cohen-Lenstra Heuristics

恒例の，北陸数論セミナへ．今日は自分がしゃべる番で，H. CohenとH. W. Lenstraの，いわゆるCohen-Lenstra Heuristics（以下CLHと略）についての雑談をした．当該論文はこれ（PDF）．参加者は他に2人で，ひっそりと．

CLHが紹介されるときには，しばしば，奇素数$l$を固定して，判別式$D$を持つ虚2次体の類数（イデアル類群の位数）$h(D)$が$l$で割り切れないような$D$の密度の評価式として述べられるようだ：



この式がどうもうまく表示されない．念のため別の方法でも書いておく：


これはもちろん誤りではないが，CLHはより根本的な予想を述べたものである．つまり，虚2次体のイデアル類群の奇部分が，「ランダムに分布している」，という主張である．つまり，奇数位数の有限Abel群の同型類全体${\mathcal{A}}_o$の上で定義されている関数$f$に対して，$M_{-}(f)$と$M_0(f)$をを次のように定義する:



こちらもうまく表示されないので，別の手段でも書いておこう：

$$M_0(f):=\underset{X\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sum _{[G]\in {\mathcal{A}}_o(X)}\frac{f([G])}{|\text{Aut}([G])|}}{\sum _{[G]\in {\mathcal{A}}_o(X)}\frac{1}{|\text{Aut}([G])|}},$$
ただし，正の実数 $X$ に対して${\mathcal{A}}_o(X)$は奇数位数の有限Abel群で位数が$X$以下のものの同型類全体，$\text{Aut}(G)$は$G$の自己同型群，$|S|$は集合$S$の元の個数，である．

このとき，虚2次体のイデアル類群の奇部分のランダムな分布（Cohen-Lenstraの論文で，Fundamental Assumptionとされているもの）とは，次のように定式化される：
$$M_{-}(f)=M_0(f).$$
右辺が，純群論的な量であることに注意されたい．

$f$として，考えている群に対する色々な性質の特性関数をとり，右辺を計算することで，イデアル類群の奇部分が同じ性質を満たす虚2次体の「密度」が求まる，という仕組みである．例えば奇素数$l$を取り，$G$の位数が$l$で割り切れないとき$1$, そうでないとき$0$とすると，上に述べたような無限積が現れる．

Cohen-Lenstraの論文の大半が，このような計算をするための枠組みの解説に費やされている．しかも，有限Abel群ではなく，Dedekind整域$A$を固定して，有限$A$加群に対して定式化されている．実際に2次体の密度の話がされるのは，最後の節だけである．

また，2次体だけでなく，より高次の体の族を扱おうという試みも当初からなされているが，より一層speculativeになる．

セミナではまた，関数体の場合の話も少しだけ触れた．

MathJaxを使ってblog記事を書いてみたが，ちょっともどかしい．普段通りにエディタの上でTeXの文書を書き，それをblogの編集画面に貼り付けるのが一番簡単なようである．また，blog記事のpreview画面では，意図したようにTeXでレンダリングされないこともたまにある．難しいものである．補助的に，オンラインで使えるEquation Editorも使用した．