連休前半は，実家から父母が来て，孫たちと交流するという催し．天気があまりよくなく，特段観光らしい観光にも出かけず，家の周囲で遊んでいた．
子供たちは，ショッピングモールでおもちゃを買ってもらったり，ゲームセンターで遊んだり（乗り物に乗るくらいだが），甘いものを食べさせてもらったりと，年相応に楽しんだようだった．
下の子などは，トーマスのプラレールだの，プラレールの立体交差用レールだのを買ってもらい，喜んでいたが，むしろ父親の差し金であることにいつ頃気がつくのだろうか．
日曜の朝に帰路につく祖父母の車を見送りながら，上の子供が，「じいちゃ～ん！」と号泣するのが哀れを誘った．
2011年4月29日金曜日
木曜日はセミナ：Cohen-Lenstra Heuristics
恒例の，北陸数論セミナへ．今日は自分がしゃべる番で，H. CohenとH. W. Lenstraの，いわゆるCohen-Lenstra Heuristics（以下CLHと略）についての雑談をした．当該論文はこれ（PDF）．参加者は他に2人で，ひっそりと．
CLHが紹介されるときには，しばしば，奇素数$l$を固定して，判別式$D$を持つ虚2次体の類数（イデアル類群の位数）$h(D)$が$l$で割り切れないような$D$の密度の評価式として述べられるようだ：
この式がどうもうまく表示されない．念のため別の方法でも書いておく：
これはもちろん誤りではないが，CLHはより根本的な予想を述べたものである．つまり，虚2次体のイデアル類群の奇部分が，「ランダムに分布している」，という主張である．つまり，奇数位数の有限Abel群の同型類全体$\mathcal{A}_{o}$の上で定義されている関数$f$に対して，$M_{-}(f)$と$M_{0}(f)$をを次のように定義する:
こちらもうまく表示されないので，別の手段でも書いておこう：
\[
M_{0}(f):= \lim_{X\to\infty} \frac{\sum_{[G] \in\mathcal{A}_{o}(X)}
\frac{f([G])}{|\text{Aut}{([G])}|}}{\sum_{[G]\in\mathcal{A}_{o}(X)}
\frac{1}{|\text{Aut}{([G])}|}},
\]
ただし，正の実数 $X$ に対して$\mathcal{A}_{o}(X)$は奇数位数の有限Abel群で位数が$X$以下のものの同型類全体，$\text{Aut}(G)$は$G$の自己同型群，$|S|$は集合$S$の元の個数，である．
このとき，虚2次体のイデアル類群の奇部分のランダムな分布（Cohen-Lenstraの論文で，Fundamental Assumptionとされているもの）とは，次のように定式化される：
\[
M_{-}(f) = M_{0}(f).
\]
右辺が，純群論的な量であることに注意されたい．
$f$として，考えている群に対する色々な性質の特性関数をとり，右辺を計算することで，イデアル類群の奇部分が同じ性質を満たす虚2次体の「密度」が求まる，という仕組みである．例えば奇素数$l$を取り，$G$の位数が$l$で割り切れないとき$1$, そうでないとき$0$とすると，上に述べたような無限積が現れる．
Cohen-Lenstraの論文の大半が，このような計算をするための枠組みの解説に費やされている．しかも，有限Abel群ではなく，Dedekind整域$A$を固定して，有限$A$加群に対して定式化されている．実際に2次体の密度の話がされるのは，最後の節だけである．
また，2次体だけでなく，より高次の体の族を扱おうという試みも当初からなされているが，より一層speculativeになる．
セミナではまた，関数体の場合の話も少しだけ触れた．
MathJaxを使ってblog記事を書いてみたが，ちょっともどかしい．普段通りにエディタの上でTeXの文書を書き，それをblogの編集画面に貼り付けるのが一番簡単なようである．また，blog記事のpreview画面では，意図したようにTeXでレンダリングされないこともたまにある．難しいものである．補助的に，オンラインで使えるEquation Editorも使用した．
CLHが紹介されるときには，しばしば，奇素数$l$を固定して，判別式$D$を持つ虚2次体の類数（イデアル類群の位数）$h(D)$が$l$で割り切れないような$D$の密度の評価式として述べられるようだ：
この式がどうもうまく表示されない．念のため別の方法でも書いておく：
これはもちろん誤りではないが，CLHはより根本的な予想を述べたものである．つまり，虚2次体のイデアル類群の奇部分が，「ランダムに分布している」，という主張である．つまり，奇数位数の有限Abel群の同型類全体$\mathcal{A}_{o}$の上で定義されている関数$f$に対して，$M_{-}(f)$と$M_{0}(f)$をを次のように定義する:
こちらもうまく表示されないので，別の手段でも書いておこう：
\[
M_{0}(f):= \lim_{X\to\infty} \frac{\sum_{[G] \in\mathcal{A}_{o}(X)}
\frac{f([G])}{|\text{Aut}{([G])}|}}{\sum_{[G]\in\mathcal{A}_{o}(X)}
\frac{1}{|\text{Aut}{([G])}|}},
\]
ただし，正の実数 $X$ に対して$\mathcal{A}_{o}(X)$は奇数位数の有限Abel群で位数が$X$以下のものの同型類全体，$\text{Aut}(G)$は$G$の自己同型群，$|S|$は集合$S$の元の個数，である．
このとき，虚2次体のイデアル類群の奇部分のランダムな分布（Cohen-Lenstraの論文で，Fundamental Assumptionとされているもの）とは，次のように定式化される：
\[
M_{-}(f) = M_{0}(f).
\]
右辺が，純群論的な量であることに注意されたい．
$f$として，考えている群に対する色々な性質の特性関数をとり，右辺を計算することで，イデアル類群の奇部分が同じ性質を満たす虚2次体の「密度」が求まる，という仕組みである．例えば奇素数$l$を取り，$G$の位数が$l$で割り切れないとき$1$, そうでないとき$0$とすると，上に述べたような無限積が現れる．
Cohen-Lenstraの論文の大半が，このような計算をするための枠組みの解説に費やされている．しかも，有限Abel群ではなく，Dedekind整域$A$を固定して，有限$A$加群に対して定式化されている．実際に2次体の密度の話がされるのは，最後の節だけである．
また，2次体だけでなく，より高次の体の族を扱おうという試みも当初からなされているが，より一層speculativeになる．
セミナではまた，関数体の場合の話も少しだけ触れた．
MathJaxを使ってblog記事を書いてみたが，ちょっともどかしい．普段通りにエディタの上でTeXの文書を書き，それをblogの編集画面に貼り付けるのが一番簡単なようである．また，blog記事のpreview画面では，意図したようにTeXでレンダリングされないこともたまにある．難しいものである．補助的に，オンラインで使えるEquation Editorも使用した．
2011年4月13日水曜日
MathJaxを導入してみた
blogに数式を表示する為に，MathJaxを導入してみた（つもり）．この投稿はMathJaxのテストなので，内容は特にないし，すぐに消すかもしれない．
MathJaxの導入のために参照したのは，黒木玄さんのこの頁．
まずRiemann zeta関数：$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$. 但し$\Re(s)>1$. ついで，ディスプレイ数式は，\[\zeta(s)=\prod_{p}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)^{-1},\] 積はすべての素数$p$に渡り，$s$については先と同様に実部が$1$以上．
おおむねうまくいっているように見える．IE8を使うとレンダリングが非常に遅くなるらしいが，好んでIE8を使う人もいないだろうから，よいことにする．
MathJaxの導入のために参照したのは，黒木玄さんのこの頁．
まずRiemann zeta関数：$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$. 但し$\Re(s)>1$. ついで，ディスプレイ数式は，\[\zeta(s)=\prod_{p}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)^{-1},\] 積はすべての素数$p$に渡り，$s$については先と同様に実部が$1$以上．
おおむねうまくいっているように見える．IE8を使うとレンダリングが非常に遅くなるらしいが，好んでIE8を使う人もいないだろうから，よいことにする．
2011年4月2日土曜日
人間の三つの弱点
「滅多に更新されない」と揶揄されたりもするこのblogだが，年度も変わったことだし，などと理由を付けて閑文字を連ねる．しかし，引用である：
未曾有の大災害から三週間が過ぎて，漸く，その先のことを考えなければならないと多くの人が思う一方で，その道のりの困難で遼遠なこともつくずく思われる．
平安が皆様の上にあるよう祈ります．
人類が，何であれ大きな事業に着すする機会に直面したときに，私たちの努力をはなはだしく妨げる人間の弱点がいつも三つある．第一に，私たちは共通の目標を設定して，合意に達することがなかなかできない．第二に，十分な資金を調達できない．第三に，惨憺たる失敗を恐れてしまう．（F. ダイソン，「叛逆としての科学―本を語り、文化を読む22章」第18章，p. 265）
未曾有の大災害から三週間が過ぎて，漸く，その先のことを考えなければならないと多くの人が思う一方で，その道のりの困難で遼遠なこともつくずく思われる．
……それに打ち勝つために科学技術の魔力を何も使わなかった．彼らが勝利を収めるのに必要とされたのは，ストレスにさらされた人間が発揮することのできる美徳のすべて，すなわち，強靱さ，勇気，無私の心，洞察力，常識，ユーモアのセンスだった．（同，p. 268）
平安が皆様の上にあるよう祈ります．
2010年12月31日金曜日
年末旅行・伊勢神宮参拝
年の瀬，30日から一泊で，三重県伊勢市へ．
往路は北陸道から東海北陸道を経て，名神，東名阪，伊勢自動車道と走っていくナビにお任せコース．東海北陸道では，最高で標高1，000mを越える箇所もある．最近の高速道路のサービスエリアは，ショッピングモールのようでもあり，東名阪の御在所SAのフードコートなど，昼時には戦場であった．
その日は，まっすぐ伊勢神宮内宮に向かい，寒い中を参拝．初めて来たけど，確かに聖域という感じではあった．そして寒かった．
宿は，大石屋という旅館．大きくはないが，設備は新しいし，禁煙フロアがあるし，前室も入れれば3部屋ある部屋で夕食も食べられたし，その食事も十分美味しかったので，大変好印象だった．
翌朝，やはり部屋で朝食を取ってから，近所の夫婦岩とそれをまつる神社を参拝．
大晦日のこの日は，折からの大寒波到来のため，山陰から北陸中部，太平洋側も荒天であった．帰路，三重県内で既に強風と吹雪に見舞われた．東海北陸道の標高の高いところはどんな状況かわからないので，滋賀県周りの経路を選択．新名神，名神から米原JCTを経て北陸道へ．ずっと道路状況が悪く，時には泊まってしまうような有様だった．
しかし，福井から石川へ向かうにつれ，天候も路面状況も改善していった．ちょっと皮肉な感じではあった．
家族で無事に年の瀬を迎えられ，ありがたいことである．
往路は北陸道から東海北陸道を経て，名神，東名阪，伊勢自動車道と走っていくナビにお任せコース．東海北陸道では，最高で標高1，000mを越える箇所もある．最近の高速道路のサービスエリアは，ショッピングモールのようでもあり，東名阪の御在所SAのフードコートなど，昼時には戦場であった．
その日は，まっすぐ伊勢神宮内宮に向かい，寒い中を参拝．初めて来たけど，確かに聖域という感じではあった．そして寒かった．
宿は，大石屋という旅館．大きくはないが，設備は新しいし，禁煙フロアがあるし，前室も入れれば3部屋ある部屋で夕食も食べられたし，その食事も十分美味しかったので，大変好印象だった．
翌朝，やはり部屋で朝食を取ってから，近所の夫婦岩とそれをまつる神社を参拝．
 |
| From 2010年末・伊勢参り（二見浦） |
大晦日のこの日は，折からの大寒波到来のため，山陰から北陸中部，太平洋側も荒天であった．帰路，三重県内で既に強風と吹雪に見舞われた．東海北陸道の標高の高いところはどんな状況かわからないので，滋賀県周りの経路を選択．新名神，名神から米原JCTを経て北陸道へ．ずっと道路状況が悪く，時には泊まってしまうような有様だった．
しかし，福井から石川へ向かうにつれ，天候も路面状況も改善していった．ちょっと皮肉な感じではあった．
家族で無事に年の瀬を迎えられ，ありがたいことである．
登録:
投稿 (Atom)