月曜日の授業：自然と情報の数理・アルキメデスの仮想天秤

アルキメデスの仕事のうち、放物線の切片（放物線上の二点A, Bを結ぶ弦と、放物線そのものが囲む領域）の面積の求積の方法を紹介するのが今回のテーマ。

一つは、汲み尽くし法（method of exhaustion）によるもの。弦の上に三角形（もうひとつの頂点Cは、弦と平行な接線が放物線と接する点）を書き、弦の上に別の三角形（もうひとつの頂点は、A, Bにおける接線の交点）を書いて、切片を挟み込む。後は同じ操作を、内側の三角形の二辺について繰り返すのである。この際、今の操作で作った三角形全部の面積と、一つ手前の操作で作った三角形全部の面積との間に、1:4の比例関係があることがわかる。したがって、放物線の切片の面積は、一番最初に書いた三角形ABCの面積の4/3であることがわかる。

この証明は、高木貞治の「解析概論」の第三章冒頭に再録されていて、大昔、大学に入ってまもなくの頃に読んで非常に感銘を受けたのを覚えている。


次に、「方法」冒頭の、仮想的な天秤を用いた議論。どのようにして放物線の切片の面積の公式にいたったかを、アルキメデス自身が詳らかにしたものである。

「方法」では更に進んで、この仮想天秤の方法で回転放物面の切片の体積などを求めている。このとき、現在の定積分のRiemann和による定義に肉薄しているということが、最近のC写本の研究で明らかになった、というのが、斎藤憲「よみがえる天才アルキメデス―無限との闘い (岩波科学ライブラリー)」やネッツ・ノエル「解読! アルキメデス写本」の一つの核心になっている。

この講義ではそこまでは踏み込まず、次回は地中海世界のその後の主要な数学（エラトステネス、アポロニウス、ディオファントス）を見て、イスラム、インド世界を見て、中世ヨーロッパへお話を進めたいところ。

類数の可除性，非可除性

昨日のセミナに，某大学の院生の方がインタビューに来ていた．が，あまり時間が取れずじまい．本日は勤務先に来ていただいて，私が研究テーマにしている，2次体・2次拡大の類数の可除性・非可除性についての概観を，僭越ながら講義．

午前中は11時過ぎから始めて，結局夕方17時頃まで．問題の発端（Gaussの予想）から，ほぼ時系列で，得られた結果やそのための手法，一般化の試みなどを，主要な結果について概説を試みた．自分としても，頭の中にあることを整理してアウトプットするのは大変よい機会であった．ただ，記憶で話した部分については不正確なところも多々あり，文献などで修正していただきたい（ここを見ていたら）．

話しておしまいではなく，書いたものにすればいいのだが（そしてそう言う企画が実はずっとあるのだが），なかなかその儀にいたらず，我ながら歯がゆい所である．

木曜日はセミナ：HasseのKlassenzhal

隣町でのセミナ．今回は常連メンバによる，H. Hasse, Uber die Klassenzahl abelscher Zalhkoeper, 第一章の解説．いわゆるAbel体の解析的類数公式の証明を概観．今後数回で，本書全体をカバーする予定だそうな．ドイツ語が不自由な私には，もの凄くありがたい企画である．

以前，サマースクールでこの話題を担当したことがあるので，その際の資料を見ながら聴講．

某大学の院生の方が，私を含むセミナの常連メンバにインタビューに来ておられたのだが，上記の講義の後はあまり時間が取れず．

いつもは21時の高速バスで帰宅しているのだが，それにも間に合わず，久々にJRの特急に乗った．そして着いてみると市電も終わっている時間で，ざぁざぁ降り．やむを得ずタクシに乗る（ナンバプレートは見なかった）．当地で言うところの，「たかつく」（高くつく，の意）半日となった．

火曜日の授業：大学院講義と4年生ゼミ：Galois理論とtaxicab number

午前中の大学院講義は、平方剰余記号の練習問題をいくつか。更にGalois理論の復習。今月の数学セミナー（数学セミナー 2008年 07月号 [雑誌]）を宣伝するのを忘れた :)

午後は4年生セミナ。教育実習帰りの学生はお疲れの様子。x^3+y^3 = Aというタイプの楕円曲線の加法をねちねちと。結合法則は、「面倒で長い計算」により証明されるという。まぁ、そうなんだけども。

月曜日の授業：自然と情報の数理：円と螺旋

アルキメデスの仕事の解説。実際に「円の計測」の最初の命題（円の面積は、底辺が円周に、高さが半径に等しい直角三角形Eの面積と等しい）を証明。証明は、一方が他方より大きいとして矛盾を導くのを双方の不等号に対して行うもの。議論は、いわゆる取り尽し法。

後半は、「螺旋について」から。アルキメデスの螺旋の最初の一周を書き、終点をθとする。中心Nからθまでを半径とする円も書く。θで螺旋の接線を引き、Nθに直行する直線と接線の交点をAとすると、AZは最初の円の円周に等しく、よって直角三角形ANθの面積は（上の「円の計測」の定理より）半径Nθの円の面積と等しい。

これも、示したい等式が成り立たないとして、不等号を仮定して矛盾を導くというのを二回やるのである。結構長い。時間内に終わらず、一方の不等式が成立しないことは次回に先送り。

今回はプレゼンテーションスライドなしで、黒板でみっちりやった。受講者の諸君は、少々当惑気味の様子 :)