月曜日の授業：自然と情報の数理・アルキメデスの仮想天秤

アルキメデスの仕事のうち、放物線の切片（放物線上の二点A, Bを結ぶ弦と、放物線そのものが囲む領域）の面積の求積の方法を紹介するのが今回のテーマ。

一つは、汲み尽くし法（method of exhaustion）によるもの。弦の上に三角形（もうひとつの頂点Cは、弦と平行な接線が放物線と接する点）を書き、弦の上に別の三角形（もうひとつの頂点は、A, Bにおける接線の交点）を書いて、切片を挟み込む。後は同じ操作を、内側の三角形の二辺について繰り返すのである。この際、今の操作で作った三角形全部の面積と、一つ手前の操作で作った三角形全部の面積との間に、1:4の比例関係があることがわかる。したがって、放物線の切片の面積は、一番最初に書いた三角形ABCの面積の4/3であることがわかる。

この証明は、高木貞治の「解析概論」の第三章冒頭に再録されていて、大昔、大学に入ってまもなくの頃に読んで非常に感銘を受けたのを覚えている。


次に、「方法」冒頭の、仮想的な天秤を用いた議論。どのようにして放物線の切片の面積の公式にいたったかを、アルキメデス自身が詳らかにしたものである。

「方法」では更に進んで、この仮想天秤の方法で回転放物面の切片の体積などを求めている。このとき、現在の定積分のRiemann和による定義に肉薄しているということが、最近のC写本の研究で明らかになった、というのが、斎藤憲「よみがえる天才アルキメデス―無限との闘い (岩波科学ライブラリー)」やネッツ・ノエル「解読! アルキメデス写本」の一つの核心になっている。

この講義ではそこまでは踏み込まず、次回は地中海世界のその後の主要な数学（エラトステネス、アポロニウス、ディオファントス）を見て、イスラム、インド世界を見て、中世ヨーロッパへお話を進めたいところ。