午前中はM2ゼミ．教科書を卒業して，論文・論説に取りかかってみたが，いろいろと前途遼遠という印象だった．さしあたり必要になるであろう論文を集めに出かけて，文献の探し方をレクチャーしたり，見つけたものをダウンロードして整理したりする．
探し方と言っても，手持ちの文献の文献表を見つつ，「まずぐぐる」，「隣のタブでMathSciNet」とか，かなりイージーである．
文献と言えば，Elsevierへのボイコットがあったのは去年の2月頃である．最近のGowersのblogの記事「Elsevier journals: has anything changed?」に依れば，JNTのあるエディターが辞任したそうである．詳細については同記事を読んでいただきたい．
昼食を挟んで，午後はM1ゼミ．Ireland-Rosenの本で，4乗剰余記号の相互法則の証明を読む．相互法則を証明したら，ではガウスの整数環の，ノルムが $100$ 以下の素元 $\lambda$, $\mu$ に対して，$(\lambda/\mu)_4$ を計算しましょう，計算ドリル！という宿題を出そうと思っていたけど，終わったらくたびれていて出し忘れた．
夕方から小雨がぱらつきだして，じめじめするけど体が冷える感じ．帰宅してすぐに風呂に入った．
2013年5月27日月曜日
手紙だと思って
月曜日の1限の線型代数．2次元の場合の行列式，3次元の場合の外積，そして3次元の平行体の体積あたりまで，その他の話題．
小テストの解答の仕方について，ふつうの日本語を書くように，つまり，何がどうしたのか，その理由は何なのか，等々が読み取れるように書きましょう，答案を読む人への手紙だと思って書きましょう，というようなお話をした．
数学についての日本語を書くに当たっては，結城浩さんの「数学文章作法 基礎編 (ちくま学芸文庫)
」をお勧めする，という話もしたが，上のようなことならむしろ，数学ガールの秘密のノート第3回，連立方程式のアピール，のほうが近かったかもしれない．
さらに，同氏の「数学ガール (数学ガールシリーズ 1)
」とその一連の続巻も，本格的な数学の本である事，また，ちくま学芸文庫は，数学や物理の本格的な本がたくさん揃っている不思議なシリーズなので，それぞれ見かけたらぜひ手に取ってみるように，と勧めておいた．
終わって，小テストをソートして出欠を集計するところまで済ませて，学内のカフェに脱出した．居室は蒸し暑いが，ここなら空調が効いているのである．ちょっと数値計算の続きをする．
午後のM2ゼミは，スピーカ氏の都合で翌日へ延期されたので，さらに自分の仕事の続き．
小テストの解答の仕方について，ふつうの日本語を書くように，つまり，何がどうしたのか，その理由は何なのか，等々が読み取れるように書きましょう，答案を読む人への手紙だと思って書きましょう，というようなお話をした．
数学についての日本語を書くに当たっては，結城浩さんの「数学文章作法 基礎編 (ちくま学芸文庫)
」をお勧めする，という話もしたが，上のようなことならむしろ，数学ガールの秘密のノート第3回，連立方程式のアピール，のほうが近かったかもしれない．さらに，同氏の「数学ガール (数学ガールシリーズ 1)
」とその一連の続巻も，本格的な数学の本である事，また，ちくま学芸文庫は，数学や物理の本格的な本がたくさん揃っている不思議なシリーズなので，それぞれ見かけたらぜひ手に取ってみるように，と勧めておいた．終わって，小テストをソートして出欠を集計するところまで済ませて，学内のカフェに脱出した．居室は蒸し暑いが，ここなら空調が効いているのである．ちょっと数値計算の続きをする．
午後のM2ゼミは，スピーカ氏の都合で翌日へ延期されたので，さらに自分の仕事の続き．
2013年5月25日土曜日
連続する冪剰余の列
金，土と，木曜日の金沢でのセミナで聞いた話を数値的に追試していた．$p$ を $3$ で割って $1$ 余る素数としたときに，法 $p$ で $0$ でない元の代表系 $R = \{1,\dots, p-1\}$ の中に，$3$ 乗剰余（つまり，$a\in R$ で，$x^3 = a \pmod{p}$ となる $x\in R$ が存在するような $a$）の連続列がどのくらい存在するかを考えるのである．
例えば，$p = 1009$ とすると，$\{182, 183, \dots, 186\}$ の5つが連続した $3$ 乗剰余であり，これを，$3$ 乗剰余の長さ $5$ の連続列と言っている．同様に $\{823, \dots, 827 \}$ も5つの連続した $3$ 乗剰余である．長さが5の列はこの2つしかない．長さが6かそれより大きい列はない．長さが4のものは6つある（但し，長さは「丁度4」のものを考える．長さ5の列には長さ4の部分列が2つ含まれるが（つまり $\{182,\dots, 185\}$ と $\{183, \dots , 186\}$ これらは長さ4には含めない）．
法 $p$ についての連続する $k$ 乗剰余についての考察はたくさんあり，指標和の評価に依るもの，自然数の彩色に関する van der Waerden の定理のように組合せ論の手法をとるもの（$3$ 乗剰余で類別することは，自然数を $3$ 色に塗り分けることに相当し，連続する列というのは公差が $1$ の等差数列である），様々な先行研究があるようだ．
暑い一日だった．炎天下，側溝の泥を掻き出して麻袋（実際には化繊だが）に積めたり，汚水枡に薬液を流したりと少し家の周りのこともした．
例えば，$p = 1009$ とすると，$\{182, 183, \dots, 186\}$ の5つが連続した $3$ 乗剰余であり，これを，$3$ 乗剰余の長さ $5$ の連続列と言っている．同様に $\{823, \dots, 827 \}$ も5つの連続した $3$ 乗剰余である．長さが5の列はこの2つしかない．長さが6かそれより大きい列はない．長さが4のものは6つある（但し，長さは「丁度4」のものを考える．長さ5の列には長さ4の部分列が2つ含まれるが（つまり $\{182,\dots, 185\}$ と $\{183, \dots , 186\}$ これらは長さ4には含めない）．
法 $p$ についての連続する $k$ 乗剰余についての考察はたくさんあり，指標和の評価に依るもの，自然数の彩色に関する van der Waerden の定理のように組合せ論の手法をとるもの（$3$ 乗剰余で類別することは，自然数を $3$ 色に塗り分けることに相当し，連続する列というのは公差が $1$ の等差数列である），様々な先行研究があるようだ．
暑い一日だった．炎天下，側溝の泥を掻き出して麻袋（実際には化繊だが）に積めたり，汚水枡に薬液を流したりと少し家の周りのこともした．
2013年5月21日火曜日
きれ
午前中は，ゼミの院生向けに一コマお話．講義というほど堅苦しくなく，そもそも単位も出ない自主ゼミのようなもの．
昼食を挟んで，午後はM1のゼミ．Ireland-Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory (Graduate Texts in Mathematics)
の4乗剰余記号のあたりに入って，でも，相互法則の証明は次週に回すという．Gauss自身がこの発見について記録した論文が，邦訳されている（ガウス 数論論文集 (ちくま学芸文庫)
）ので，彼らに紹介しておく．
すでに蒸し暑く，夕方になると体にきれがない（朝方にあるとは主張していない）．
昼食を挟んで，午後はM1のゼミ．Ireland-Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory (Graduate Texts in Mathematics)
の4乗剰余記号のあたりに入って，でも，相互法則の証明は次週に回すという．Gauss自身がこの発見について記録した論文が，邦訳されている（ガウス 数論論文集 (ちくま学芸文庫)）ので，彼らに紹介しておく．すでに蒸し暑く，夕方になると体にきれがない（朝方にあるとは主張していない）．
2013年5月20日月曜日
錯覚から自らを解放するために
月曜1限1年生向けの線型代数は，3次元空間での線型変換など．具体例として，回転や射影を扱う．次回以降，3次の正方行列の行列式を扱うのだが，「数学セミナー 2013年6月号 ベクトル・行列が見せるもの
」の当該特集を受講者諸君に勧めてみた．「数学セミナー」という雑誌を知っていたのは，4～5名という印象だった．
出席を確認するのと，理解度を見るために，毎回小テストを実施する．教科書の本文中の問を，15分ほどでできるところまで解いてもらう．成績には反映させない（出席も，小テストのでき具合も）．これは非常によい方法と自負している．正しいことをしゃべれば，受講者が理解する，という錯覚から自らを解放するために．
午前の残りの時間は，小テストの集計とコメントに使う．てにをはの整った，読める文章を書いてください，というのが一番多いコメントで，これはもう判子を作りたいくらいだ．判子を作るための小さな3Dプリンタなど商品化されないだろうか．
昼食を挟んで，午後はM2ゼミ．先週の水曜日に引き続き，小野孝先生の「数論序説
」の2章の終わりあたりを読む．2次体のArtin写像と，特にそのkernelの決定まで．Dirichletの算術級数定理の証明は3章以降なので，それは認めて使う．考えている2次体で分解する素数が存在することが，それで保証される．2章まで終わったので，別の文献に移ることも含め，今後の方針を話し合った．
」の当該特集を受講者諸君に勧めてみた．「数学セミナー」という雑誌を知っていたのは，4～5名という印象だった．
出席を確認するのと，理解度を見るために，毎回小テストを実施する．教科書の本文中の問を，15分ほどでできるところまで解いてもらう．成績には反映させない（出席も，小テストのでき具合も）．これは非常によい方法と自負している．正しいことをしゃべれば，受講者が理解する，という錯覚から自らを解放するために．
午前の残りの時間は，小テストの集計とコメントに使う．てにをはの整った，読める文章を書いてください，というのが一番多いコメントで，これはもう判子を作りたいくらいだ．判子を作るための小さな3Dプリンタなど商品化されないだろうか．
昼食を挟んで，午後はM2ゼミ．先週の水曜日に引き続き，小野孝先生の「数論序説
」の2章の終わりあたりを読む．2次体のArtin写像と，特にそのkernelの決定まで．Dirichletの算術級数定理の証明は3章以降なので，それは認めて使う．考えている2次体で分解する素数が存在することが，それで保証される．2章まで終わったので，別の文献に移ることも含め，今後の方針を話し合った．
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