連続する冪剰余の列

金，土と，木曜日の金沢でのセミナで聞いた話を数値的に追試していた．$p$ を $3$ で割って $1$ 余る素数としたときに，法 $p$ で $0$ でない元の代表系 $R = \{1,\dots, p-1\}$ の中に，$3$ 乗剰余（つまり，$a\in R$ で，$x^3 = a \pmod{p}$ となる $x\in R$ が存在するような $a$）の連続列がどのくらい存在するかを考えるのである．

例えば，$p = 1009$ とすると，$\{182, 183, \dots, 186\}$ の5つが連続した $3$ 乗剰余であり，これを，$3$ 乗剰余の長さ $5$ の連続列と言っている．同様に $\{823, \dots, 827 \}$ も5つの連続した $3$ 乗剰余である．長さが5の列はこの2つしかない．長さが6かそれより大きい列はない．長さが4のものは6つある（但し，長さは「丁度4」のものを考える．長さ5の列には長さ4の部分列が2つ含まれるが（つまり $\{182,\dots, 185\}$ と $\{183, \dots , 186\}$ これらは長さ4には含めない）．

法 $p$ についての連続する $k$ 乗剰余についての考察はたくさんあり，指標和の評価に依るもの，自然数の彩色に関する van der Waerden の定理のように組合せ論の手法をとるもの（$3$ 乗剰余で類別することは，自然数を $3$ 色に塗り分けることに相当し，連続する列というのは公差が $1$ の等差数列である），様々な先行研究があるようだ．

暑い一日だった．炎天下，側溝の泥を掻き出して麻袋（実際には化繊だが）に積めたり，汚水枡に薬液を流したりと少し家の周りのこともした．