根体，（最小）分解体，代数閉包

4年生のゼミで，体論の話を聞いていて気がついたというか，思い出したこと．

代数閉包の存在（Steinitz）を示すのは少し議論が必要だが，その前に，多項式が少なくとも一つ根を持つ体（根体）の存在を示す段階がある．これは易しい．

問題は分解体（考えている多項式が一次式の積に分解する体）の存在を示すステップである．代数閉包の存在を既知とすれば，これは当たり前．しかし，代数閉包の存在を示す議論の中に，実は分解体の構成の議論が組み込まれている．

根体の存在から，体を上げれば既約多項式の次数は次第に減っていくのだが，この議論を，文献によっては「帰納法により」と書いていたり，「帰納的に」と書いたりしているので，初学者は混乱するようだ．

分解体の存在を，多項式の次数に関する帰納法で示す場合，帰納法の仮定が何かを注意しておかなくてはならないと思う．Google Booksで検索したら，Birkhoff-MacLaneのAlgebraにはその旨が明確に述べてあった（p. 447, Theorem 4の証明）．