2012年5月3日木曜日

モジュラー形式・テータ級数(2):mod 4で1の素数は2平方数の和

昨日の記事では,4で割って1余る素数を2つの平方数の和と表す問題から,CM楕円曲線を経由してモジュラー形式に至った.今日はより直接的にモジュラー形式と関連するお話.

まず,指標付きのEisenstein級数Gk,χ(z)を定義する.χを法Nに対するDirichlet指標(群準同型χ:(Z/NZ)×C×を,(n,N)1ならχ(n)=0としてχ:ZCへ伸ばしたもの)とする.正整数kN, 法NのDirichlet指標に対して Gk,χ(z)=ck(χ)+n=1(dnχ(d)dk1)qn と定義する.但しχ(1)=(1)kを仮定し,また ck(χ)=12L(1k,χ) は,Dirichlet指標χに対するDirichlet L函数の1kでの値の半分で,これは代数的数になる.すると,Gk,χ(z)は,重みk, レベルN, 指標χを持つモジュラー形式になる.

一方,テータ級数θ(z)θ(z)=nZqn2=1+2n1qn2 とする.その2θ(z)2は,重みが1, レベル4, 指標χ4()=(4/)をもつモジュラー形式になり,整数を二平方数の和に書き表す書き方 r2(n)=#{(x,y)|x2+y2=n,x,yZ} と次のような関係があることが分かる: θ(z)2=(nZqn2)(mZqm2)=n0r2(n)qn.

さて,重みが1, レベル4, 指標χ4をもつモジュラー形式でq展開が0でない定数項を持つものの全体は複素1次元なので,G1,χ4(z)θ(z)2は定数倍で一致する.この定数はL(0,χ4)=1/2から4であること(4G1,χ4(z)=θ(z)2)が分かる.よって,p1(mod4)なる素数については, r2(p)=4(χ4(1)+χ4(p))=8. 特にそのような素数は,二平方数の和である事(更に,二平方数和としての表し方が順番と負号の付け方を除いて一意である事)が分かる.

参考文献は,Zagierの1-2-3の論説の§3.1.

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