昨日の記事では,で割って余る素数を2つの平方数の和と表す問題から,CM楕円曲線を経由してモジュラー形式に至った.今日はより直接的にモジュラー形式と関連するお話.
まず,指標付きのEisenstein級数を定義する.を法に対するDirichlet指標(群準同型を,ならとしてへ伸ばしたもの)とする.正整数と, 法のDirichlet指標に対して
と定義する.但しを仮定し,また
は,Dirichlet指標に対するDirichlet 函数のでの値の半分で,これは代数的数になる.すると,は,重み, レベル, 指標を持つモジュラー形式になる.
一方,テータ級数を
とする.その乗は,重みが, レベル, 指標をもつモジュラー形式になり,整数を二平方数の和に書き表す書き方
と次のような関係があることが分かる:
さて,重みが, レベル, 指標をもつモジュラー形式で展開がでない定数項を持つものの全体は複素次元なので,とは定数倍で一致する.この定数はからであること()が分かる.よって,なる素数については,
特にそのような素数は,二平方数の和である事(更に,二平方数和としての表し方が順番と負号の付け方を除いて一意である事)が分かる.
参考文献は,Zagierの1-2-3の論説の§3.1.
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