one-sentence-proof: mod 4で1の素数は2平方数の和

$4$で割って$1$余る素数$p$を2つの平方数の和と表す問題の証明のうち，おそらくもっとも有名ではないかと思われるのが，D. Zagierによるone-sentence proofである：

「$S = \{(x,y,z)\in\mathbf{N}^3\,|\, x^2+4yz = p\}$とするとき，$S$上のinvolution \[ (x,\,y,\,z) \mapsto \begin{cases} (x+2z, z, y-x-y),\quad \text{ if }x < y-z,\\ (2y-x, y, x-y+z), \quad \text{ if } y-z < x < 2y,\\ (x-2y, x-y+z, y), \quad \text{ if } x > 2y, \end{cases} \] はただ一つの固定点を持ち，よって$S$は奇数個の元からなるが，一方でinvolution \[ (x, y, z) \mapsto (x, z, y) \] も固定点を持つ．」 問題は，何故これで証明されたのかが直ちには了解しづらい点である．

この元になったのが，Heath-Brownによる証明である．まず行列$M$を \[ M = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0\\ 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] と定義する．$M$を使って$\mathbf{Z}^3$内の部分集合を， \[ S = \{\mathbf{v} = (x,y,z)^t \in\mathbf{Z}^3\,|\, \mathbf{v}^{t}M\mathbf{v} = p\} \] と定義する．$\mathbf{v}^{t}M\mathbf{v}= 4xy + z^2 = p$である（${}^t$は転置の記号とする）．行列をもう3つ，$A$, $B$, $C$を次のように定義する： \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}. \] $A$, $B$, $C$はいずれも可逆行列で，$A^2 = B^2 = C^2 = I$, さらに$A^tMA = B^tMB = C^tMC = M$. また，$S$の部分集合$T$, $U$を次のように定義する： \[ T = \{(x,y,z)\in S\,|\, z > 0\},\quad U = \{(x,y,z)\in S\,|\, x+z>y\}. \] すると，以下の各主張が成立する：

主張1: $A\colon S\to S$, $B\colon T\to T$, $C\colon U\to U$.

主張2: $S = T \sqcup AT = U \sqcup AU$.

（証明は原論文を）．よって$\# T = \# AT$, $\# U = \# AU$から$\# S = 2\# T = 2\# U$となり，$\# T = \# U$.

主張3: $\# U$は奇数．

証明：$C^2=I$より，$C$の$U$への作用でのそれぞれの軌道は，$1$つ，もしくは$2$つの元しか含まない．軌道が$1$つの元と言うことは，固定点と言うことである．$C(x,y,z)^t = (x,y,z)^t$から，$y=z$が出るが，すると$p=y(4x+y)$となり，よって$y=1$, $x=(p-1)/4$. 従って, $C$の作用での$U$の固定点は唯一で，他の軌道はすべて$2$元からなる．よって$\# U$は奇数である．

すると，$\# T = \# U$も奇数であり，$B$の$T$への作用において奇数個の固定点が存在する．特に$B$の作用での固定点が$T$に存在するが，この固定点は（$B$が$x$と$y$を入れ替えるので）$x=y$. すると \[ p = 4xy + z^2 = 4x^2 + z^2 = (2x)^2+ z^2. \] これが求める結果であった．

参考文献は，上掲のZagier, Heath-Brownの論文の他，Aigner, Ziegler, Proofs from THE BOOKの4章がこの証明（の他に，A. Thueによる別の証明）を詳細に解説している．