one-sentence-proof: mod 4で1の素数は2平方数の和

$4$で割って$1$余る素数$p$を2つの平方数の和と表す問題の証明のうち，おそらくもっとも有名ではないかと思われるのが，D. Zagierによるone-sentence proofである：

「$S=\{(x,y,z)\in {\mathbf{N}}^3|x^2+4yz=p\}$とするとき，$S$上のinvolution $$(x,y,z)\mapsto \{\begin{array}{l}(x+2z,z,y-x-y),\text{ if }x<y-z,\\ (2y-x,y,x-y+z),\text{ if }y-z<x<2y,\\ (x-2y,x-y+z,y),\text{ if }x>2y,\end{array}$$ はただ一つの固定点を持ち，よって$S$は奇数個の元からなるが，一方でinvolution $$(x,y,z)\mapsto (x,z,y)$$ も固定点を持つ．」 問題は，何故これで証明されたのかが直ちには了解しづらい点である．

この元になったのが，Heath-Brownによる証明である．まず行列$M$を $$M=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 0\\ 2& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$ と定義する．$M$を使って${\mathbf{Z}}^3$内の部分集合を， $$S=\{\mathbf{v}=(x,y,z{)}^t\in {\mathbf{Z}}^3|{\mathbf{v}}^{t}M\mathbf{v}=p\}$$ と定義する．${\mathbf{v}}^{t}M\mathbf{v}=4xy+z^2=p$である（${}^t$は転置の記号とする）．行列をもう3つ，$A$, $B$, $C$を次のように定義する： $$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 2& -1\end{array}\right).$$ $A$, $B$, $C$はいずれも可逆行列で，$A^2=B^2=C^2=I$, さらに$A^{t}MA=B^{t}MB=C^{t}MC=M$. また，$S$の部分集合$T$, $U$を次のように定義する： $$T=\{(x,y,z)\in S|z>0\},U=\{(x,y,z)\in S|x+z>y\}.$$ すると，以下の各主張が成立する：

主張1: $A:S\to S$, $B:T\to T$, $C:U\to U$.

主張2: $S=T\bigsqcup AT=U\bigsqcup AU$.

（証明は原論文を）．よって$\mathrm{\#}T=\mathrm{\#}AT$, $\mathrm{\#}U=\mathrm{\#}AU$から$\mathrm{\#}S=2\mathrm{\#}T=2\mathrm{\#}U$となり，$\mathrm{\#}T=\mathrm{\#}U$.

主張3: $\mathrm{\#}U$は奇数．

証明：$C^2=I$より，$C$の$U$への作用でのそれぞれの軌道は，$1$つ，もしくは$2$つの元しか含まない．軌道が$1$つの元と言うことは，固定点と言うことである．$C(x,y,z{)}^t=(x,y,z{)}^t$から，$y=z$が出るが，すると$p=y(4x+y)$となり，よって$y=1$, $x=(p-1)/4$. 従って, $C$の作用での$U$の固定点は唯一で，他の軌道はすべて$2$元からなる．よって$\mathrm{\#}U$は奇数である．

すると，$\mathrm{\#}T=\mathrm{\#}U$も奇数であり，$B$の$T$への作用において奇数個の固定点が存在する．特に$B$の作用での固定点が$T$に存在するが，この固定点は（$B$が$x$と$y$を入れ替えるので）$x=y$. すると $$p=4xy+z^2=4x^2+z^2=(2x{)}^2+z^2.$$ これが求める結果であった．

参考文献は，上掲のZagier, Heath-Brownの論文の他，Aigner, Ziegler, Proofs from THE BOOKの4章がこの証明（の他に，A. Thueによる別の証明）を詳細に解説している．