モジュラー形式・テータ級数：mod 4で1の素数は2平方数の和

$E:y^2=x^3-Dx$のHasse-Weil $L$函数が，Hecke $L$函数に一致すること（Deuring-Weil）を見た．今回は更に，これらがあるモジュラー形式の$L$函数である事を見る．

特に$D=1$, つまり$E:y^2=x^3-x$の場合を考えると，対応するHecke指標は，$P$が$2$の上にある素イデアルなら$\chi (P)=0$, それ以外の場合は$\chi (P)=\pi$, $P=(\pi )$, $\pi \equiv 1(\mathrm{mod}2+2\sqrt{-1})$, となる．このとき$E$に対応するモジュラー形式は，重み$2$, レベル$32$のテータ級数（CMモジュラー形式） $$f_E(z)=-\sum _{\mathfrak{a}\subset \mathbf{Z}[\sqrt{-1}]}\chi (\mathfrak{a})q^{N(\mathfrak{a})}=-\sum _{a,b}a{q}^{a^2+b^2},$$ 但し$q=\exp (2\pi \sqrt{-1}z)$, $\mathfrak{a}$は$\mathbf{Z}[\sqrt{-1}]$の$0$でないイデアルを走り，また$a$, $b$は$a\equiv 1(\mathrm{mod}4)$, $b\equiv 0(\mathrm{mod}2)$を走る．

更に，このモジュラー形式は，$\eta$函数 $$\eta (z)=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^n),$$ により， $$f_E(z)=\eta (4z{)}^2\eta (8z{)}^2$$ と表示される．（重み2, レベル32のカスプ形式の空間が1次元である事から）．

すると，考えている楕円曲線$E$の$a_p$（$p$は素数）は，$f_E(z))$の$q^p$の係数に等しかったので，最終的に上の式の右辺を$q$展開した係数に等しいことがわかる．Jacobsthal和が，そして$x^2+y^2=p$の解が，上のような無限積の係数と関係付くのは大変ふしぎなことである．

参考文献は，D. Zagier, Elliptic Modular Forms and Their Appliation, in The 1-2-3 of Modular Forms, The 1-2-3 of Modular Forms: Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway (Universitext) §6.4, 並びに，橋本喜一朗先生の連載記事「数のジャングル・数論の迷宮」第15回「森の広場（スクエア）：素数たちの饗宴（2）」，数学セミナー 2010年 09月号 [雑誌] ，である．