Hasse-Weil L函数：mod 4で1の素数は2平方数の和

$E$が有理数体$\mathbf{Q}$上定義されているとき，$E$が良還元を持つような素数$p$について，$E(\mathrm{mod}p)$の$Z(E(\mathrm{mod}p)/{\mathbf{F}}_p;T)$の分子をEuler因子とし，また良還元ではない素数についてもしかるべく調整した因子$(\ast )$を掛けることで，$E/\mathbf{Q}$のHasse-Weil $L$函数を $$L(E/\mathbf{Q};s):=\prod _p(1-a_p{p}^{-s}+p^{1-2s}{)}^{-1}\times (\ast )$$ と定義する．この$L$函数は$s$の実部$>3/2$で収束するが，さらに全平面に解析接続され，$s$と$2-s$での値を関係づける函数等式を持つことが「予想」されていた，が，これは1990年代から2000年代に掛けて，志村・谷山予想のWilesらによる証明の帰結として解決された．
しかし，$E/\mathbf{Q}$が虚数乗法を持つ場合には，$L(E/\mathbf{Q};s)$はHeckeの$L$函数にによって表され，上に述べた解析接続や函数等式は1950年代にDeuring, Weilらにより解決されていた．
考える楕円曲線を，$E:y^2=x^3-Dx$, $D$は整数，に限ることにする．この$E$を良還元を持つ素数$p$（具体的には$p\nmid 2D$なる素数であることが示される）で還元したときの${\mathbf{F}}_p$有理点の個数は $$\mathrm{\#}E({\mathbf{F}}_p)=\{\begin{array}{l}p+1-\overline{{\left(\frac{D}{\pi }\right)}_4}\pi -{\left(\frac{D}{\pi }\right)}_4\pi ,p\equiv 1(\mathrm{mod}4),p=\pi \bar{\pi },\pi \equiv 1(\mathrm{mod}2+2i),\\ p+1,p\equiv 3(\mathrm{mod}4),\end{array}$$ で与えられる．ここで，$p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$なる素数は$\mathbf{Z}[\sqrt{-1}]$で$p=\pi \bar{\pi }$と分解するとし，$(D/\pi {)}_4$は4乗剰余記号である（よってこれまでの記号で$a_p$等と書かれてきたFrobeniusのトレースも明示的に，$p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$もしくは$p\equiv 3(\mathrm{mod}4)\mathrm{に}\mathrm{応}\mathrm{じ}\mathrm{て}，$4乗剰余記号を用いて，もしくは$0$と，求められている）．
さて，$O=\mathbf{Z}[\sqrt{-1}]$上の，導手$(8D)$，重み$1$の代数的Hecke指標$\chi$を，$O$の素イデアル$P$に対して， $$\chi (P):=\{\begin{array}{l}0,P\mid 2D,\\ \overline{{\left(\frac{D}{\pi }\right)}_4}\pi ,P=(\pi ),\pi \equiv 1(\mathrm{mod}(2+2\sqrt{-1})),\end{array}$$ と定義する．$\chi$に対するHeckeの$L$函数$L(\chi ;s)$を $$L(\chi ;s):=\prod _P{(1-\chi (P)N(P{)}^{-s})}^{-1}$$ と定義するとこれはある半平面で広義一様に収束し，また全複素平面に整函数として接続され，$s$と$2-s$との間の函数等式をみたす．
すると，Hasse-Weil $L$函数のEuler因子に注目すると，$p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$の時は $$\begin{array}{rcl}1-a_p{p}^{-s}+p^{1-2s}& =& (1-\overline{{\left(\frac{D}{\pi }\right)}_4}\pi p^{-s})(1-{\left(\frac{D}{\pi }\right)}_4\bar{\pi }{p}^{-s})\\ & =& (1-\chi (P)N{P}^{-s})(1-\chi (\bar{P})N{\bar{P}}^{-s}),\end{array}$$ $p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$の時は $$1-a_p{p}^{-s}+p^{1-2s}=1+p^{1-2s}=1-\chi (P)N{P}^{-s},$$ となる．
つまり，楕円曲線$E:y^2=x^3-Dx$のHasse-Weil $L$函数が，Heckeの$L$函数と一致することが示される． $$L(E/\mathbf{Q};s)=L(\chi ;s).$$ よって$L(E/\mathbf{Q};s)$も，全複素平面に整函数として接続され，$s$と$2-s$との間の函数等式をみたす．
（参考文献は，J. Silverman, Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves (Graduate Texts in Mathematics)のChap II, §6と，Ireland-Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory (Graduate Texts in Mathematics)の18章 §6．また，Hasse-Weilの$L$函数の発見の経緯については，Weil自身による証言が大変興味深い．数学の創造―著作集自註 (1983年) (数セミ・ブックス〈4〉)の[1952d]参照．

初出時$E:y^2=x^3+Dx$となっていたのは$E:y^2=x^3-Dx$の誤りでしたので訂正しました（2012/05/03）