連続する自然数の積はべき乗数になるか

$k$が自然数のとき，$k(k+1)$は平方数ではない．

まず$k$と$k+1$は互いに素なので，$k(k+1)$が平方数なら，$k$と$k+1$がそれぞれ平方数でなければならない：$k=L^2$, $k+1=M^2$. すると，今度は$1=M^2-L^2=(M-L)(M+L)$. これは不可能である．

もっと簡単に，$k^2<k(k+1)<(k+1{)}^2$だから，という説明を見て目から鱗だった．すると，$k(k+1)(k+2)=N^3$となる$N$が存在しないことが同じようにして示される．つまり，$k^3<k(k+1)(k+2)<(k+2{)}^3$より，$k(k+1)(k+2)=(k+1{)}^3$, しかし$k$と$k+1$は互いに素なのでやはり不可能．

同様にして，$k(k+1)\dots (k+n-1)$が$n$乗数でないことが示される．これは実は今年の東大の入試問題なので，有名なのだと思う．私は今日知ったのですが．

では，$k(k+1)\dots (k+n-1)$がべき乗数になることがあるか？というのは自然な疑問だが，それについては明日以降に．