2012年8月28日火曜日

連続する自然数の積はべき乗数になるか

$k$が自然数のとき,$k(k+1)$は平方数ではない.

まず$k$と$k+1$は互いに素なので,$k(k+1)$が平方数なら,$k$と$k+1$がそれぞれ平方数でなければならない:$k=L^2$, $k+1 = M^2$. すると,今度は$1 = M^2 - L^2 = (M-L)(M+L)$. これは不可能である.

もっと簡単に,$k^2 < k(k+1) < (k+1)^2$だから,という説明を見て目から鱗だった.すると,$k(k+1)(k+2)=N^3$となる$N$が存在しないことが同じようにして示される.つまり,$k^3 < k(k+1)(k+2) < (k+2)^3$より,$k(k+1)(k+2)=(k+1)^3$, しかし$k$と$k+1$は互いに素なのでやはり不可能.

同様にして,$k(k+1)\dots (k+n-1)$が$n$乗数でないことが示される.これは実は今年の東大の入試問題なので,有名なのだと思う.私は今日知ったのですが.

では,$k(k+1)\dots (k+n-1)$がべき乗数になることがあるか?というのは自然な疑問だが,それについては明日以降に.

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