連続する自然数の積はべき乗数になるか：平方にはならない

自然数$k$について，$k(k+1)\dots (k+n-1)$, つまり$k$からの連続する$n$個の自然数の積が$n$乗数ではない，ということを昨日は見た（$n>1$）．例えば，$k(k+1)$は平方数ではない．

1939年の論文で，P. Erdösが，$k(k+1)\dots (k+n-1)$は平方数ではないことを示している．もしこれが平方数$y^2$だとして，$k+i=a_i{x}_i^2$, $i=0,1,\dots ,n-1$, $a_i$は無平方，と書いたとする．$a_i$の素因数$p$は$p<n$となる．（なぜなら，$p\mid a_i$から$p\mid y^2$, よってある$j$について$p\mid a_j$. よって$i\equiv -k\equiv j\mathrm{mod}p$. よって$p\mid i-j$, よって$p<n$.）以下，$k(k+1)\dots (k+n-1)$が平方数だとして，これら$a_1,\dots ,a_n$が相異なることを示し，矛盾を導く．

難しいことは使わないが，Bertrandの仮説，Sylvester-Schurの定理，二項係数の$p$進付値の評価などを組み合わせた証明は，例によってマジックを見ているようである．