連続する自然数の積はべき乗数になるか：平方にはならない

自然数$k$について，$k(k+1)\dots (k+n-1)$, つまり$k$からの連続する$n$個の自然数の積が$n$乗数ではない，ということを昨日は見た（$n>1$）．例えば，$k(k+1)$は平方数ではない．

1939年の論文で，P. Erdösが，$k(k+1)\dots (k+n-1)$は平方数ではないことを示している．もしこれが平方数$y^2$だとして，$k+i=a_i{x}_i^2$, $i=0,1,\dots ,n-1$, $a_i$は無平方，と書いたとする．$a_i$の素因数$p$は$p<n$となる．（なぜなら，$p\mid a_i$から$p\mid y^2$, よってある$j$について$p\mid a_j$. よって$i\equiv -k\equiv j\mathrm{mod}p$. よって$p\mid i-j$, よって$p<n$.）以下，$k(k+1)\dots (k+n-1)$が平方数だとして，これら$a_1,\dots ,a_n$が相異なることを示し，矛盾を導く．

難しいことは使わないが，Bertrandの仮説，Sylvester-Schurの定理，二項係数の$p$進付値の評価などを組み合わせた証明は，例によってマジックを見ているようである．

連続する自然数の積はべき乗数になるか

$k$が自然数のとき，$k(k+1)$は平方数ではない．

まず$k$と$k+1$は互いに素なので，$k(k+1)$が平方数なら，$k$と$k+1$がそれぞれ平方数でなければならない：$k=L^2$, $k+1=M^2$. すると，今度は$1=M^2-L^2=(M-L)(M+L)$. これは不可能である．

もっと簡単に，$k^2<k(k+1)<(k+1{)}^2$だから，という説明を見て目から鱗だった．すると，$k(k+1)(k+2)=N^3$となる$N$が存在しないことが同じようにして示される．つまり，$k^3<k(k+1)(k+2)<(k+2{)}^3$より，$k(k+1)(k+2)=(k+1{)}^3$, しかし$k$と$k+1$は互いに素なのでやはり不可能．

同様にして，$k(k+1)\dots (k+n-1)$が$n$乗数でないことが示される．これは実は今年の東大の入試問題なので，有名なのだと思う．私は今日知ったのですが．

では，$k(k+1)\dots (k+n-1)$がべき乗数になることがあるか？というのは自然な疑問だが，それについては明日以降に．

噴水

昨日はビニルプールで遊んだのに，今日は富岩運河環水記念公園の噴水に遊びに行きたいと子供が言う．

その前に，「見晴らしの丘」の，空気で弾むトランポリンのようなもので遊ぶという．こんなに暑いのに？人影まばらだったが，無人というわけでもなかった．飲み物を調達に言っている間に飽きたらしく，次は噴水へ．

こちらはそれなりの人出だった．地面から水が一定時間おきに吹き上がり，子供らはずぶ濡れになりながら嬌声を上げる．私は木陰で新書を読みつつ，眺めていた．風が吹くので，プラタナスの木陰が大変心地よいのだった．

昼頃帰宅した．

www.sagenb.orghttp://www.sagenb.org/ でお絵かきしようとしたら，３D表示のJmol周りが少し改修されたような気がする．以前はJmolのアプレットをクリックして指定していたオプションが，ノートブック上のボタンを押すことで呼び出せるようになったようだ．メッシュを入れたり，表面や透明度を変えることがやりやすくなった．

Sageでお絵かきするのは楽しいのだが，簡単に脱線してしまうのが玉に瑕．

プール

週末にゆっくり読むつもりだった「順列都市〈上〉 (ハヤカワ文庫SF)」，「順列都市〈下〉 (ハヤカワ文庫SF)」をつい読み通してしまう．

おかげで，昼食後もまたぐぅぐぅ寝てしまいそうになったが，そのまえにビニールプールを設置せよと下命があった．暑い中，ポンプを押したり引いたりして膨らませた．水を入れているから待てと言っても子供たちはきかず，ばちゃばちゃ大騒ぎになる．

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また缶詰

今日も所用にて缶詰．これがなければ，代数学シンポジウム最終日（数論の日）に出たのだが，やむを得ない．缶詰の合間の昼休みには，別口で会議が入っていた．

かろうじて休み時間に，生協におやつを買いに行く．日差しが強いが，青空が少しだけ高くなっていたように思われた．

夜は，クロスオーバーイレブン．朝の連ドラに津嘉山正種が出ていることにしばらく気がつかずにいた．そのつもりで聴けば，声は紛れもないのだった．

スコール

今日午前中までが，「数学ソフトウェアと教育」研究集会の会期で，最後まで出席．動的幾何ソフトウェア（GeoGebra, KSEG, Cabri 3Dなど）の話が印象的だった．

平面で図形を転がす話がでていた．単純閉曲線（ある程度なめらかな）で囲まれた凸な図形を転がすのは，その曲線の長さでのパラメータ付けと，接線とx軸との角度が求まれば良いような気がする．

昼食を取りに外に出ると，途方もない暑さ．日差しと気温と照り返しとで，どんどん体が重くなる印象だった．質量を獲得する機構として，となりの研究所で研究が進んでいるかもしれない．

駅へ向かう知人らと別れ，再び数理研にとって返す．代数学シンポジウムに出席．列車の時間を気にしながらで，一コマだけ聴講して帰路についた．駅に向かう頃になって，空模様が怪しくなり雷鳴がとどろく．昨日も午後に，雷を伴う土砂降りだった．日本もスコールが降るようになったのかもしれない．

普段はしない列車酔いをしてしまい，折角電源のある席に座っていたのに，何事も進まず．這々の体で帰宅．

京都滞在

京大数理研で開催の，「数学ソフトウェアと教育」研究集会に参加，講演のため上洛中．今日は2日目で，自分の講演（例によってSageの話）も午後にあった．

いままで，こういった趣旨の研究集会に出たことがないので，いろんなことが新鮮である．なんというか，自分のこれまでの教育への取り組みを反省することしきり．プログラムは，20分前後の講演が目白押しだが，どれも興味深い．

夜は懇親会．

同時期に同じ会場で，代数学シンポジウムも開催中．明日午後はそちらへ参加のつもり．

上洛

京大数理研にて所用のために上洛．

昼前に会場近くにたどり着き，まっすぐ「ますたに」に行くが，ちょうどこの月～水と休みだそうで出鼻をくじかれる．引き返して「實徳」で昼食にありつく．しかしここも明日から休みだという．

午後はまじめに聴講する．始めて参加する集会なので，首を伸ばし耳を澄まして様子をみるのだった．Yシャツネクタイ姿が目立ち，うっかりと半パンで来てしまったことを悔やむ．宿で着替えて来れば良かった．

夕方は進々堂で一服し（ここも明日から休み），百万遍のレブン書房が営業していないこと，ルネがプレハブになってしまっていることなどを見て回る．夕食を大学近くで取り，ホテルへ．自分の講演の準備をする．

夏祭り

明日の移動の切符を買いに駅まで行ったほかは，ほぼ終日お籠もりだった．

家族は，夕方から町内の夏祭りへ出かけて，楽しんできたらしい．ビンゴの当たり外れで，下の子が拗ねていたらしいが，近所の年長の子らに気遣われてきたそうだ．

巻き

熱風の吹く暑い日．

週明けからの集会で，20分ほど話すので，プレゼンの準備．いままであまりしたことがない類の話になるので，筆の進みが今ひとつ．本当に筆で書いているわけではありませんが．言わずもがな．

上の子供が，どうした風の吹き回しか，回る寿司に行きたいという．生魚が食べられないはずだったのに……．しかも一番の繁忙期なのに……．

行ってみたが，案の定かなり待たされる．ようやく席に着き，サビ抜きの鉄火巻きから始めてみる．半分ほどかじって口を動かしていたが，「なんか……まずい」とのたまう．結局，卵焼きだのお稲荷だのカッパ巻きだのを食べていた．下の子はキュウリが苦手なのでカッパ巻きも食べないのだが，キュウリを除いて，「ほら，カッパ巻きのカッパ抜きだよ．つまり，巻きだな」などと言っても，やはり食べなかった．

缶詰

終日業務にて缶詰．8文字につきる一日だった．

先日の"Glenn Gould Plays Hindemith's Piano Sona"を聴きながら，帰省前から見ていなかったarXivを眺めていると，Artinの原始根予想についてのサーベイを発見．Ram MurtyのMath Intelligencer掲載のサーベイ（これは1988年出版，本文のdviファイルは著者のwebから入手できる）以降の進展が述べられているようだ．オリジナルの問題についての発展についてもさることながら，バリエーションについての記述も面白い．

通常営業

早めに休暇を取って帰省した．今日から通常業務に復帰．しかし学内は森閑としている．暑いのは相変わらずだが，トンボが飛ぶようになって，夏も終盤という感じである．

もろもろの事情で，初めの計画よりも1日休暇を伸ばしたので，すこしねじを巻き気味に過ごす．

休暇中読んでいたのは，「ハンニバル〈上〉 (新潮文庫)」，「ハンニバル〈下〉 (新潮文庫)」．実はいままで読んだことがなかった．バルテュスがレクター博士のいとこだとか，さらりと書いてあって面白い．

帰省先で，つれづれに普段読まない新聞など眺めていると，梅原猛氏が上山春平氏の追悼文を書いている．上山氏は，空海が修行したというので有名な，虚空蔵求聞持という修行をしたのだそうだ．これがどんなものかは，検索すると色々と出てくる．例えば「弘法大師の信仰の原点である「虚空蔵求聞持の法」と日本の佛教」には上山氏の文章を引いて説明がある．マントラを百万遍唱えると超人的な記憶力が手に入るというのは，ちょっと心惹かれるが，どういう仕組みなのだろう．記憶の宮殿（Loci system）はまだもっともな感じもするのだが……．

愛読するblogの一つ，「読書猿Classic」でも，記憶の宮殿を始め，さまざまな記憶術に関する一連の詳細な記事があって面白いです．「MindパフォーマンスHacks」では，1章で記憶術を扱っています．（記憶の宮殿の他，Major法，ドミニクシステム他）．

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帰省中

長距離の移動になるので，例年，経路の管状近傍のどこかに一泊する．今年も新潟県某所で一泊．子供らは物珍しさにはしゃいでいた．

今日はようよう帰省先に到着．屋内だと少し蒸すようにも思うが，日が落ちれば快適．子供らは祖父母に，両親は孫たちに会い喜んでいるようだ．

休暇前

明日から休暇に入るので，できそうなことはしておこうとする．しかしそうは問屋が卸さないもので，できそうだからしてみて終わるようなことは終わっているので，ToDoリストを見て，う～ん，と，うなるのであった．

机に向かったり，ホワイトボードに向かったり，パソコンに向かったり，巡回しながら暮らす．たまに同僚や学生が尋ねてくるのが息抜きである．

昼時につぶやいた↓は，一部の興味を引いたようだ．同ブログは丹念にデータを拾い，それを分かりやすく解説してくれるのでRSSリーダに登録して更新に注意している．

国立大学職員日記｜国立大学教員の平均年収ランキング（平成２３年度） bit.ly/Mzd8mw

— Iwao KIMURAさん (@iwaokimura) 8月 9, 2012

明日から週明けまでは不定期更新です．

Ludus Tonalis

午前中は書類書きなど．昼食を挟んで，午後は，前期を終えて後期を迎えるに当たって発生するお仕事を細々片付けていく．右から左に，という感じだがそれなりに時間はかかる．

日が傾く頃になって，ちょっと自分の考えを紙の上に広げてみる．

ここ数日の夜の音楽は，J. McCabe演奏の，Hindemith, Ludus Tonalis他．最初聴いたとき，ピアノの音色にちょっとふしぎな印象があったのだが，Fazioli pianoはこういう，やわらかい音なのかな……．

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ポ・ト・フ

先週実施した線形代数，期末試験の答案を返却する旨を掲示したのだが，時間になって現れたのは3名だった．ちょっと衝撃を受ける．午前中は，彼らと雑談して終了した．

午後は書き物をしたり計算をしたりで平和に過ごした．立秋だそうだが，確かに盛夏は過ぎたのかなぁと思わせる空．

生協の書店で，懐かしい本が文庫になって再発しているのを発見し捕まえてきた．ぱらぱらとめくると，自分で思った以上に影響を受けているなぁと感じる．著者らが3人とも鬼籍に入ってしまったのは残念だし，時の流れを感じさせられた．

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オープンキャンパス

オープンキャンパスで研究紹介（1人20分＋5分質疑を2人の教員が担当）．午前と午後に，同じ話をする（聴衆は入れ替わっている）．

対象は，受験を考えている高校生（大抵は2年生）とその保護者の方々だったりするので，話題選びが難しい．

珍しい素数を探す話，ということにして，「珍しい素数，略して珍素数！沖縄のお菓子みたいですが……」というのがつかみだった．Wieferich素数，Wilson素数などを紹介し，私が勝手に定義して探している素数についてもちょっとだけ触れた．

終わって研究室に戻ると，NASAの火星探査ローバーが無事着陸し，さっそく画像を送ってきたというニュース．900Kgもある車を，火星まで運べるというのはすごいことである．

更に，夕方になって，200番目のBernoulli数の分子が素因数分解されたというニュースも飛び込んできた．具体的には，分解されずにいた204桁の合成数の因子が分解されたのである．大変興味深い．有理整数環の398th 代数的K群が（部分群の位数まで）決まったと言うことか．

自由研究・続

昼食を済ませてから，子供の夏の自由研究の続きに取りかかる．

破壊実験なのになかなか壊れなくて弱った，というところで中断したのが昨日午後．その夕方に，負荷をかけるための材料を100円ショップで調達してきた．

おかげで無事に資料を破壊することができて，めでたしめでたし．

その後，実験中に取ったデータを，ノートにまとめる作業にうつる．一から教えるので時間はかかるが，楽しい．様式は任意らしいので，かなり簡潔にした．デコるのはいつでもできる．

夕方になる前に仕上げることができた．

明日は勤め先のオープンキャンパスがあり，30分で研究紹介をするお役目を頂戴している．来場者がほんとうにそんな話を聞きたいのか確信が持てずすこしく悩む．

自由研究

子供の夏休みの宿題，自由研究に取り組む． 

ある種の破壊実験なのだが，本実験を始めて見て，「なかなか壊れない！」ということに気がついた．気がついたというか，それは分かっていたのだが，やってみたら本当に壊れないのである．このくらい負荷をかけたら壊れました，と言うのが一つの結論なので，壊れないことには困ってしまうのである． 

試行錯誤しているうちに子供も気が散ってしまうし，他に出かける用事もあるというので，明日に持ち越しとする． 

始めてみると私が面白くなってしまい，つい手や口を出してしまったり，子供がしようとすることを制してしまったりしてよろしくない．自制しよう． 

自分の子供の頃を思い出してみると，2年生か3年生の時に，電池の消耗実験（日向や冷蔵庫の中など環境を変えたり，電球とモーターなど負荷を変えたりしながら電池がどのくらい持つか，テスターで電圧を測るようなこと）をした．4年生で大豆（だったと記憶しているがか5年生か……？）の発芽実験をしたと思う．しかし高学年になってからの方が記憶があいまいである．

シンギング

夏風邪と空調のせいで低空飛行気味．

職場に出てきて採点をし，呻吟をシンギング……．不調ぶりが伝わるでしょうか．結果を表計算ソフトに入力して眺めてみる．

合間に，月曜日のオープンキャンパスでのお話を考える．本学科に入学し数学が勉強したい！と言う気持ちになってもらえるような事を，30分で，一席ぶつのである．期末試験の採点と著しく直交している．

打ち水をするという話をたまに聞くのだが，積雪地には道路に消雪栓が設けられている．そこから断続的に水を出せば良いのではないか，と思う．


夜の音楽は，昨日に引き続きHindemithのLudus Tonalis, 演奏はS. Richter.

真夏の夜の音楽

やや持ち直したがやはり夏風邪気味．喉鼻にくる……．

朝のニュースは，体操の内村選手個人総合金メダル一色だった．私も正座して一通り観てしまった．たいしたものだなぁ．

午前中はメールのやりとりのお仕事．間違うとややこしくなるので注意深く．昼過ぎまでかかる．

午後は採点．7分3分ペースだが，たまに脱線．終わらなかった．

夜の音楽は，ヒンデミットのピアノソナタ．真夏の夜にあうような気がするのだ．

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8月・パンク・花火

何気なく寝て目を覚ますと8月になっていた……．

朝から自転車のパンク修理．チューブを引っ張り出して水に浸す伝統的な方法で，ふさぐべき穴を探す．なかなか見つからない．もしかして，と思って空気穴を水に浸すと案の定で，結局パンクではなく，虫ゴムの劣化だった．

クロスバイクなので前輪をフレームから簡単に外せる．タイヤとチューブも分けて作業していた．ホイールを手に持って空転させる遊びなどする．ジャイロ効果で，回転軸を倒そうとすると，それに抵抗するように力がかかる．また，回転させて水平にすると（軸を鉛直に向けると）コマのように手のひらの上で安定して回り続ける．子供に見せたりして，理科おじさんぶりを発揮した．

日中は，先日の期末試験の採点など．すぐに脱線するのであまり進まない．

8月朔日は神通川縁で恒例の花火大会である．混雑する前に帰宅．夕食を済ませてから，はやくはやくと急く子供と，近所まで見にいく．建物の切れ間から夜空に上がる花火を観ていた．

夏風邪を引いてしまったようだ．