abc, Wieferich, Mollin-Walsh

庭木に毛虫がたかっているので何とかすべし，とのご下命を賜る．朝から殺虫剤を撒く．イラガの幼虫で，毎年恒例の行事である．なんの恨みもないけれども，浮き世の義理でご容赦願いたい．

残暑厳しい秋空の下，しずしずと書き物調べ物．

$abc$予想の帰結の一つに，Wieferich素数でない素数が無数に存在する（リンク先はJ. Silvermanの原論文だがpay wallの向こう側），というものがある．

一方，Mollin-Walshの予想というものがある．これは，3つの連続するpowerfulな自然数はないだろう，と言う予想である．powerfulな自然数$n$というのは，素因数がどれも2冪以上で入っている，つまり，$p \mid n$ ならば $p^2 \mid n$ がなりたつ自然数のこと．

もしWieferich素数でない素数が有限個で，つまり，ある $p_0$ から先の素数がすべてWieferich素数だったとする（現在まで，$17\times 10^{15}$ 以下の既知のWieferich素数は $11$, $1093$ だけなのだが）．

このとき，$t = \prod_{p\le p_0} p$, $A=2^{t\varphi(t)}$, $\varphi(\cdot)$はEuler関数，とすると，$A^n -1$ が任意の $n$ に対してpowerfulであることが示され，特に（2行ぐらい議論すると $A^2-1 = (A-1)(A+1)$の因子が互いに素で，よって）， $A-1, \, A, \, A+1$ がいずれもpowerfulである事が示され，よってMollin-Walshの予想に反する，という議論である．出典はA. Granville, Powerful numbers and Fermat's last theorem, 1986, リンクは原論文PDF)．

$abc$予想とMollin-Walshの予想の関係はよく分からないらしい．