2012年9月7日金曜日

abc, Wieferich, Mollin-Walsh

庭木に毛虫がたかっているので何とかすべし,とのご下命を賜る.朝から殺虫剤を撒く.イラガの幼虫で,毎年恒例の行事である.なんの恨みもないけれども,浮き世の義理でご容赦願いたい.

残暑厳しい秋空の下,しずしずと書き物調べ物.

abc予想の帰結の一つに,Wieferich素数でない素数が無数に存在する(リンク先はJ. Silvermanの原論文だがpay wallの向こう側),というものがある.

一方,Mollin-Walshの予想というものがある.これは,3つの連続するpowerfulな自然数はないだろう,と言う予想である.powerfulな自然数nというのは,素因数がどれも2冪以上で入っている,つまり,pn ならば p2n がなりたつ自然数のこと.

もしWieferich素数でない素数が有限個で,つまり,ある p0 から先の素数がすべてWieferich素数だったとする(現在まで,17×1015 以下の既知のWieferich素数は 11, 1093 だけなのだが).

このとき,t=pp0p, A=2tφ(t), φ()はEuler関数,とすると,An1 が任意の n に対してpowerfulであることが示され,特に(2行ぐらい議論すると A21=(A1)(A+1)の因子が互いに素で,よって), A1,A,A+1 がいずれもpowerfulである事が示され,よってMollin-Walshの予想に反する,という議論である.出典はA. Granville, Powerful numbers and Fermat's last theorem, 1986, リンクは原論文PDF).

abc予想とMollin-Walshの予想の関係はよく分からないらしい.

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