Cole, the 67-th Mersenne number

blog 「読書猿Classic: between / beyond readers」の記事「Three years of Sundays／史上もっとも静かなプレゼンテーション」を大変面白く読んだのだが，少し事実関係を整理したい．もしまだ同記事をお読みになっていない方は，是非ご一読頂きたい．

よろしいですか？

まず，$n$ 番目のメルセンヌ数 $M_n$ というのは，$2^n-1$ のことである（$n\ge 1$）．すぐに巨大になるが，素数に関連した興味深い性質がいくつもある．例えば，$M_n$ が素数ならば $n$ が素数であることが証明できる．しかし $n$ が素数だからといって，いつでも $M_n$ が素数になるわけではない．例えば$M_{11}=2^{11}-1=23\times 89$. しかし，$n$ が素数なら，$M_n$ は $n$ より大きい素因数を含むことも簡単に示され，従って大きな素数の探索にしばしば用いられる．

歴史を遡ると，メルセンヌ自身が17世紀に，$M_n$ が素数になる $n$ を小さい方から幾つか列挙したのだが，それが間違いを含んでいた．例えば彼は，$M_{67}$ は素数であるとしていた．

冒頭のブログ記事では，20世紀初頭にColeが学会で発表するまでそれが信じられていた，という調子で劇的な様子を記述しているが，それはそうではない．

リュカは既に，1891年出版の著書で，$M_{67}$が合成数であろう，と述べている(E. Lucas, Theorie des Nombres, p. 376)．

しかし，その素因数分解は与えていない．

Coleは，$M_{67}$ の素因数分解，すなわち，$$M_{67}=147573952589676412927=1937077211\times 761838257287$$を，論文 The factoring of large numbers, Bulletin of the American Mathematical Society, 10(3), 1903で与えた．冒頭のブログ記事は，その内容を講演したときのエピソードと思われる．

Coleは2つの方法を試し，一つはうまくいかず，もう一つの方で $M_{67}$ の素因数分解を得ている．つまり，$$M_{67}={(\frac{1}{2}(u+v))}^2-{(\frac{1}{2}(u-v))}^2$$と書いたときに，$(u+v)/2$の方が満たすべき合同式を，法 ${67}^2\times 8\times 5\times 7\times 13\times 81$ で与えて，$$\frac{1}{2}(u+v)=1323536760x+1160932384,$$ （$x$の係数が上で述べた法，）そこに適当に整数を入れていって，$x=287$ のとき，つまり $381015982504$ が $$M_{67}=2^{67}-1={381015982504}^2-{380822274783}^2=193707721\times 761838257287$$を満たすことから，素因数分解を得ている．

2次篩法などが開発されるのは，1980年代である．