2012年11月14日水曜日

正65537角形

夕べから,雨風雷の荒れた天気で,今朝も引き続きそんな調子だった.北陸の冬空.

朝食後も寒くてしょうがないので,体温を測ってみたら36℃丁度だった……冬眠か.しばらく暖を取った後,よろよろと出勤する.

午後は会議で缶詰.16時半頃に自由の身となった.

中島先生の「代数方程式とガロア理論 (共立叢書 現代数学の潮流)」によると,StewertのGalois理論のテキストには,正65537角形をコンパスと定規で作図した人はいない,と断言してあるらしい(私は未見).続けて,「いない」と断言するのは難しいのでは,という穏当な意見が述べられていて,私は,それはそうですけど,でもいないのでは,と思っていた.

例えば,$\theta = 2\pi/65537$ としたときに $\sin\theta = 0.000095872336200226819700455879105490150553140587845606970...$ であり,これが0.9cmちょっとになるようにするには,円の半径が100mでなければならない(あってますよね).なので,やはり事実上無理なのではないかと思っていた.さらに,誤差の累積など考えると,現実的ではない.

しかし,Coxの「ガロワ理論(下)」によると,19世紀末の数学者Johann Gustav Hermesは,コンパスと定規による円の65537等分の研究に10年を捧げ,その結果を出版している.実際に作図をしたのではなく,その手順を書き下したのではないかと思う(ちゃんとみてません.ドイツ語に堪能な方の解説求む).

NHKの「大科学実験」みたいな番組で試して貰ったら面白いだろうか.

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