2次形式による整数の表現：mod 4で1の素数は2平方数の和

2元2次形式の理論を用いたLagrangeの証明を，Gaussが整理したもので，ガウス 整数論 (数学史叢書)の§182に載っている．Cohen, A Course in Computational Algebraic Number Theory (Graduate Texts in Mathematics), Chap. 5, ならびに，ザギエ，数論入門―ゼータ関数と2次体の2章も参照．

整係数2元2次形式とは，整数係数の2変数2次式の事で，$f(x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2$, $a,b,c\in \mathbf{Z}$, とする．$f(x,y)$の判別式$D(f)$を$b^2-4ac$と定義する．係数$a,b,c$の最大公約数が$1$のとき，$f$は原始的という．また，$f$が簡約2次形式とは，係数が次の条件を満たす時を言うこととする： $$|b|\le a\le c,$$ 更に，一方の等号のみが成立する際は$b\le 0$とする．

整数を成分とする$2$次の行列で行列式が$1$のものの全体を$S{L}_2(\mathbf{Z})$と書く． ふたつの整係数2元2次形式$f(x,y)$, $g(x,y)$が同値とは， $$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)A\in S{L}_2(\mathbf{Z})$$ の変数変換で$f(x^{\prime },y^{\prime })=g(x,y)$となることとする． 同値な2次形式の判別式は等しい（ことが計算で確認できる）ので， 指定された判別式を持つ原始的整係数2元2次形式を，この同値関係で類別して考えることが出来る．

以下では$a>0$かつ$D(f)<0$なる2次形式のみ考える．このときには，上の同値類のそれぞれに，ただ一つ簡約2次形式が存在することが分かる．

さて，整数$N$が2次形式$f(x,y)$で表されるとは，ある整数$t,u$が存在して， $$N=f(t,u)$$ となることとする．$f$が$N$を表現するなら，$f$と同値な2次形式も$N$を表現 することに注意する．

我々が考えていた問題は，素数$p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$が，判別式$-4$の原始的2次 形式$f(x,y)=x^2+y^2$で表される，ということである．さて$p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ より，$1+m^2$が$p$で割り切れるような整数$m$が存在するのだった．すると， $$\begin{array}{}\text{(*)}& g(x,y)=p{x}^2+2mxy+\frac{m^2+1}{p}{y}^2\end{array}$$ は，やはり判別式$-4$の原始的2次形式である．しかも， $$p=g(1,0)$$ と，$g$は$p$を表現する．

さて，Lagrangeにより，判別式$-4$の2次形式はいずれも同値である事が示されている！ したがって，$f(x,y)=x^2+y^2$も$p$を表現する．

（現代風に言えば，虚2次体$\mathbf{Q}(\sqrt{-1})$の類数は$1$なので，$(\ast )$ 式の2次形式は$x^2+y^2$と同値になり，よって$p=x^2+y^2$と表される，と言う ことである．）