mod 4で1の素数は2平方数の和

素数$p$が$p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$なら，整数$x,y$が存在して
$$p=x^2+y^2$$
という結果はよく知られているが，それについてしばらくお話しします．

まずP. Fermatによる無限降下法を用いた証明．証明したいことより弱い結果，
整数$x,y,m$が存在して
$$mp=x^2+y^2,$$
ただし $0<m<p$, が言えたとする（これが言えることは後述）．$m_0$をそのよう
な最小正の数として，$m_0=1$が言いたい．$m_0\ne 1$とすれば $1<m_0<p$.
すぐ分かるように$m_0\mid x$かつ$m_0\mid y$は不可能．$c,d$を
$$x_1=x-c{m}_0,y_1=y-d{m}_0,|x_1|\le \frac{m_0}{2},|y_1|\le \frac{m_0}{2},$$
となるように取ることができ，よって
$$0<x_1^2+y_1^2<m_0^2.$$
すると，
$$x_1^2+y_1^2\equiv x^2+y^2\equiv 0(\mathrm{mod}{m}_0),$$
よって
$$x_1^2+y_1^2=m_1{m}_0(\mathrm{\exists }{m}_1<m_0).$$
この式に，$x^2+y^2=m_{0}p$を掛けて整理すると
$$m_0^2{m}_{1}p=(x{x}_1+y{y}_1{)}^2+(x{y}_1-x_{1}y{)}^2.$$
ここで$X=p-cx-dy$, $Y=cy-dx$とすると
$$x{x}_1+y{y}_1=m_{0}X,x{y}_1-x_{1}y=m_{0}Y.$$
よって
$$m_{1}p=X^2+Y^2$$
となり，$m_1<m_0$だから$m_0$の取り方に矛盾する．