Jacobsthal和(2)：mod 4で1の素数は2平方数の和

昨日の，Jacobsthal和を使った2平方数和定理の証明をもう一つ，こちらはJacobsthalの学位論文の記述に近いものである．$p$を奇素数，$A$を$p$で割り切れない整数とする： $$\varphi (A)=\sum _{x\in {\mathbf{F}}_p}\left(\frac{x^3+Ax}{p}\right)=\{\begin{array}{l}0,p\equiv 3(\mathrm{mod}4),\\ \pm 2a,p\equiv 1(\mathrm{mod}4),\left(\frac{A}{p}\right)=1,\\ \pm 4b,p\equiv 1(\mathrm{mod}4),\left(\frac{A}{p}\right)=-1,\end{array}$$ ここで$a,b$は$p=a^2+(2b{)}^2$で定まる整数．

証明だが，$p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$なら$\varphi (A)=0$は昨日示したとおりである．以下$p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$とする．このとき$\varphi (A)$は偶数になる（$x$と$-x$でsummandが等しいから）．

さて，$r\equiv 0(\mathrm{mod}p)$として，$\varphi (A)$で$x$を$rx$に置き換えると，$\varphi (r^{2}A)=(r/p)\varphi (A)$が分かる．よって，$A$の，${\mathbf{F}}_p^{\times }/{\mathbf{F}}_p^{\times 2}$での類に応じて，$\varphi (A)$の値を$\pm 2\alpha$（$A$が$4$乗剰余なら正，そうでないなら負号）, $\pm 2\beta$（$A$の指数が$4$で割って$1$なら正，$4$で割って$3$なら負号）と置くことが出来る）．

次の和を考える： $$\sum _{A\in {\mathbf{F}}_p}\varphi (A{)}^2$$ これは前段の考察からまず， $$\sum _{A\in {\mathbf{F}}_p}\varphi (A{)}^2=4(p-1)({\alpha }^2+{\beta }^2).$$ 一方，$\varphi (A)$の定義を代入して展開すると $$\begin{array}{rcl}\sum _{A\in {\mathbf{F}}_p}\varphi (A{)}^2& =& \sum _{x,y\in {\mathbf{F}}_p}\left(\frac{xy}{p}\right)\sum _{A\in {\mathbf{F}}_p}\left(\frac{(x^2+A)(y^2+A)}{p}\right)\\ & =& \sum _{x,y\in {\mathbf{F}}_p}\left(\frac{xy}{p}\right)(-1+p{\delta }_{x^2,y^2})=4p(p-1).\end{array}$$ よって $$p={\alpha }^2+{\beta }^2.$$ また，$\alpha$が奇数で，$\beta$が偶数であることも比較的容易に分かり，主張が従う．

詳細は，昨日もリンクしたJacobsthalの学位論文（1906年）の13頁付近か，D. Zagier, Elliptic Modular Forms and Their Appliation, in The 1-2-3 of Modular Forms: Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway (Universitext)の命題29を見て頂きたい．

Jacobsthal和は定義から明らかに，$y^2=x^3+Ax$で定義される，${\mathbf{F}}_p$上の楕円曲線の${\mathbf{F}}_p$有理点の個数と関係している．そのあたりにもいずれ触れたい．