Jacobi和の応用：mod 4で1の素数は2平方数の和

昨日導入したJacobi和を使うと，$1$で割って$4$余る素数$p$を$p=a^2+b^2$, $a$は奇数，と書いたとき， $$2a\equiv (-1{)}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{m})(\mathrm{mod}p),m:=\frac{p-1}{4},$$ となることを示すことが出来る．

まず上の記号で$\pi =a+b\sqrt{-1}$とし，指標$\chi ={\chi }_{\pi }$を${\chi }_{\pi }(\alpha )={\alpha }^{(p-1)/4}(\mathrm{mod}\pi )$, $\alpha \in \mathbf{Z}[\sqrt{-1}]$, で定まるものとする．また$J(r,s)=J({\chi }^r,{\chi }^s)$とする．このときJacobi和の定義と基本的な性質から次がなり立つことが分かる． $$J(3,2)=\chi (-1)J(3,3)=\chi (-1)\overline{J(1,1)}=\bar{\pi }.$$ 一方， $$\begin{array}{rl}J(3,2)& \equiv \sum _{t=0}^{p-1}{t}^{3m}(1-t{)}^{2m}\equiv \sum _{t=0}^{p-1}\sum _{j=0}^m(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{j})t^{2m-j}\\ & =\sum _{j=0}^m(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{j})\sum _{t=0}^{p-1}{t}^{5m-j}(\mathrm{mod}\pi ).\end{array}$$ 最後の$t$についての和は，よく知られているように$j=m$の時だけ消えずその値 は$1(\mathrm{mod}p)$である．よって $$J(3,2)\equiv (-1{)}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{m})(\mathrm{mod}\pi ).$$ まとめると， $$2a=\pi +\bar{\pi }\equiv \bar{\pi }=J(3,2)\equiv (-1{)}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{m})(\mathrm{mod}\pi ).$$ これは$\pi$を法とする合同式だが，両辺が有理整数だから$p$を法として成立する．

例えば$p=13$とすると$m=3$であり， $$(-1{)}^3(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3})=-\frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}=-20\equiv 6(\mathrm{mod}13).$$ すると，$6/2=3$は確かに，$3^2+2^2=13$を与える．

昨日のIreland-Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory (Graduate Texts in Mathematics)に並んで，F. Lemmermeyer, Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein (Springer Monographs in Mathematics)の6.2節を参考にした．特に上の結果は，同書の系6.6である．

素数$p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$が与えられたとき$p=a^2+b^2$を具体的に求める，と言う問題については，来週からご紹介していこうと思う．