Jacobsthal和(4)...合同ゼータ函数：mod 4で1の素数は2平方数の和

2012年4月25日水曜日の「Jacobsthal和(3)：mod 4で1の素数は2平方数の和」の記号を使って，有限体上の楕円曲線の，有限体の拡大体での有理点の個数を勘定する： $$\mathrm{\#}E({\mathbf{F}}_{q^n})=\mathrm{deg}(1-{\phi }^n)=det(I-{\phi }^n)=1-{\alpha }^n-{\beta }^n+q^n.$$ （detと書いているのは$\ell$進Tate加群上の線形変換として．また冪の計算は，Jordan標準形（三角行列）に移って計算すれば良い）．

さて，有限体${\mathbf{F}}_q$上定義された代数曲線$C$の合同ゼータ函数$Z(C/{\mathbf{F}}_q;T)$の話の定義を思い出す： $$Z(C/{\mathbf{F}}_q;T)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\#}C({\mathbf{F}}_{q^n})}{n}{T}^n\right),$$ 但し，${\mathbf{F}}_{q^n}$は$q^n$元体．これを有限体上の楕円曲線に適用して上の計算結果を使うと， $$Z(E/{\mathbf{F}}_q;T)=\frac{1-aT+q{T}^2}{(1-T)(1-qT)},a=\alpha +\beta .$$ また$|\alpha |=|\beta |=\sqrt{q}$も分かっている．この結果から，函数等式$Z(E/{\mathbf{F}}_q;1/qT)=Z(E/{\mathbf{F}}_q;T)$も分かる．すると$\zeta (E/{\mathbf{F}}_q;s):=Z(E/{\mathbf{F}}_q;q^{-s})$とおくと $$\zeta (E/{\mathbf{F}}_q;1-s)=\zeta (E/{\mathbf{F}}_q;s)$$ という函数等式がえられる．また，$|\alpha |=|\beta |=q^{1/2}$が曲線の合同ゼータ函数のRiemann予想の最初に示された場合であった．

つまり，Jacobsthal和は，$E:y^2=x^3+Dx$の時の，合同ゼータ函数の分子に表れる$a$を与えている．

以上の準備のもとで，次はHasse-Weil $L$函数とmodularity予想（志村・谷山予想）のお話をしたい．参考文献は前回同様，J. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves (Graduate Texts in Mahtematics)のV章．