Szemerediの定理・素数の等差数列

昨日まで述べてきたvan der Waerdenの定理を含む，より一般的な次の予想（現在では証明されている）がある：
「Erdős-Turan予想（On some sequences of integers, Journal of the London Mathematical Society 11 (4): 261-264）」$=$「Szemerédiの定理（1975）」

任意の正整数$l$と正の実数$\delta$に対して，正整数 $L(l,\delta )$が存在して，もし$L\ge L(l,\delta )$なら，$[1,L]$の任意の部 分集合$A$で，$\mathrm{\#}A\ge \delta L$を満たすものは，$l$項からなる等差数列を 含む．

この主張からvan der Waerdenの定理を導くには，$N(l,r)$として，$L(l,1/r)$を取ればよい．

Szemerédiの定理は，K. F. Rothによる$l=3$の場合（1953）の，またSzemerédiによる$l=4$の場合の（1969）証明を経て示された． Szemerédiによる証明は組合せ論的なきわめて複雑なものらしい（読んでません．）Szemerédiはこの問題を含む多大な貢献により，2012年のAbel賞を受賞している．

H. Furstenbergが1977年にエルゴート理論を用いる証明を発表した（それは先日の記事に挙げたM. Einsiedler and T. Ward, Ergodic Theory: With a View Towards Number Theory (Graduate Texts in Mathematics)に解説されている）．

更にT. Gowersが2001年に，実調和解析に基づく証明を与えた．A new proof of Szemerédi's theorem, GEOMETRIC AND FUNCTIONAL ANALYSIS Volume 11, Number 3, 465-588. Gowersによる証明は$L(l,\delta )$の上からの評価も含んでおり，よってvan der Waerden数$W(l,r)$の評価も与え，例えば$l=4$の時なら$W(4,r)=\exp (\exp (r^c))$, $c$は定数，などである．これは昨日紹介した，Shelahによる評価を大きく改善する．

さて，以上の話とは少し毛色が変わるのだが，素数の分布の問題で，関連する重要な話題がある．Ben GreenとTelence Taoは2008年に，素数全体の集合上におけるSzemerédiの定理，と言うべきものを証明した（The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions, Volume 167 (2008), Issue 2, arXiv:math/0404188v6 のTheorem 1.2）．すなわち

「$A$を素数の集合で $$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{\mathrm{\#}(A\cap [1,N])}{\pi (N)}>0,$$ ここで$\pi (N)$は$N$以下の素数の個数，を満たすものとする．このとき$A$は任 意の$k$に対して，長さ$k$の等差数列を無数に含む． 」

よって特に，論文のタイトルにもなっている，「素数全体の集合の中に，任意の長さの等差数列が存在する」ことも言える．

このGreenとTaoの論文については，小木曽啓示氏による，「混沌の中の秩序---素数列をめぐって」という素晴らしい解説があるので，そちらを是非ご覧頂きたい．