Jacobsthal和と，虚数乗法を持つ楕円曲線のFrobeniusのトレースとの関係を見る．
奇素数$p$について，Jacobsthal和とは，次の和 \[ \phi(D) = \sum_{u=1}^{p-1}\left(\frac{u^3+Du}{p}\right), \] ただし$D$は$p$で割り切れない整数，であった．
この和は，$p$元体$\mathbf{F}_p$上定義された楕円曲線$E\colon y^2=x^3+Dx$の$\mathbf{F}_p$有理点の個数と \[ \# E(\mathbf{F}_p) = p + 1 + \phi(D) \] という関係がある．実際，$x^3+Dx$が平方剰余になる$x$毎に$\pm y$の$2$点が$E$上にある．また，$x^3+Dx$が平方非剰余になる$x$は，$E(\mathbf{F}_p)$の点の個数には寄与しない．最後に，$x^3+Dx$が$p$で割り切れるとき，$1$点ある．それらがそれぞれ$1+((x^3+Dx)/p)$に等しいので，$x\in\mathbf{F}_p$で足し，無限遠点を考慮して上のようになる．（$\mathbf{F}_p$上の楕円曲線$E\colon y^2=f(x)$について全く同様のことが言 える）．
もう少し状況を一般化して，標数$p$の$q$元体$\mathbf{F}$上の楕円曲線$E$を考える．$\mathbf{F}$の代数閉包を$\overline{\mathbf{F}}$と書く．$\overline{\mathbf{F}}$有理点の集合$E(\overline{\mathbf{F}})$には$q$乗Frobenius自己同型$\varphi$が存在するが，$E$の$\ell$進Tate加群への作用も同じ文字で表すことにする（$\ell\neq p$は素数）．$\varphi$の特性多項式を
\[
\det(T-\varphi)= (T-\alpha)(T-\beta)
\]
とすると，$\alpha,\,\beta\not\in\mathbf{R}$が示され，よって共役な複素数となる．また，$\alpha\beta = \det(\varphi) = q$より，$|\alpha| = |\beta| = \sqrt{q}$.
一方，
\[
\# E(\mathbf{F}) = \# E(\overline{\mathbf{F}})^{\varphi} =
\#\ker(1-\varphi) = \deg(I-\varphi) = 1 - \text{tr}(\varphi) + q.
\]
特に$\text{tr}{\varphi}:= \alpha + \beta$が有理整数である事も示される．以上から
\[
\text{tr}(\varphi) = -\phi(D).
\]
（有限体上の楕円曲線について一般的なことは，J. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves (Graduate Texts in Mahtematics)
次に，$K$を虚2次体，$H$を$K$のHilbert類体とし，$E$を$H$上定義され$K$の整数環に虚数乗法を持つ楕円曲線とする．さらに，$K$の素イデアル $\mathfrak{p}$に対して，その上にある$H$の素イデアルを$\mathfrak{P}$と書き，$\mathfrak{P}$での$E$のreduction mod $\mathfrak{P}$を$\tilde{E}$と書くことにする．
すると，$H$で完全分解するような，$K$の殆どすべての1次の素イデアル$\mathfrak{p}$に対して，$K$の素元$\pi$で$(\pi)=\mathfrak{p}$なるもので，次の図式を可換にするものがただ一つ存在する：
\[
\newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex}
\newcommand{\ras}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ \smash{#1}\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex}
\newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\raise.5ex\rlap{\scriptstyle#1}}
\begin{array}{ccc}
E & \ra{[\pi]} & E \\
\da{} & & \da{} \\
\tilde{E} & \ras{\varphi} & \tilde{E},
\end{array}
\]
縦の矢印はreduction mod $\mathfrak{P}$である．このとき写像の次数も保たれるので，$p=\deg\varphi = \deg[\pi] = N(\pi).$ また$\deg(1-\varphi)=\deg(1-\pi) = N(1-\pi)=(1-\pi)(1-\pi')=1+p-(\pi + \pi')$. 以上から，
\[
\text{tr}(\varphi) = \pi+\pi'.
\]
（虚数乗法を持つ楕円曲線については，J. Silverman, Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves (Graduate Texts in Mathematics)
さて，$K=\mathbf{Q}(\sqrt{-1})$をGaussの数体とすれば$H=K$であり，$E: y^2=x^3+4x$は$K=\mathbf{Z}[\sqrt{-1}]$に虚数乗法を持つ．$p\equiv1\pmod{4}$が$K$で分解していて（$p=\pi\pi'$, $\pi=a+b\sqrt{-1}$），上の一般論から$\pi+\pi'=2a$とJacobsthal和とが，$-\phi(4)=2a$と関係付くのである．
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