Jacobsthal和(3)：mod 4で1の素数は2平方数の和

Jacobsthal和と，虚数乗法を持つ楕円曲線のFrobeniusのトレースとの関係を見る．

奇素数$p$について，Jacobsthal和とは，次の和 $$\varphi (D)=\sum _{u=1}^{p-1}\left(\frac{u^3+Du}{p}\right),$$ ただし$D$は$p$で割り切れない整数，であった．

この和は，$p$元体${\mathbf{F}}_p$上定義された楕円曲線$E:y^2=x^3+Dx$の${\mathbf{F}}_p$有理点の個数と $$\mathrm{\#}E({\mathbf{F}}_p)=p+1+\varphi (D)$$ という関係がある．実際，$x^3+Dx$が平方剰余になる$x$毎に$\pm y$の$2$点が$E$上にある．また，$x^3+Dx$が平方非剰余になる$x$は，$E({\mathbf{F}}_p)$の点の個数には寄与しない．最後に，$x^3+Dx$が$p$で割り切れるとき，$1$点ある．それらがそれぞれ$1+((x^3+Dx)/p)$に等しいので，$x\in {\mathbf{F}}_p$で足し，無限遠点を考慮して上のようになる．（${\mathbf{F}}_p$上の楕円曲線$E:y^2=f(x)$について全く同様のことが言 える）．

もう少し状況を一般化して，標数$p$の$q$元体$\mathbf{F}$上の楕円曲線$E$を考える．$\mathbf{F}$の代数閉包を$\bar{\mathbf{F}}$と書く．$\bar{\mathbf{F}}$有理点の集合$E(\bar{\mathbf{F}})$には$q$乗Frobenius自己同型$\phi$が存在するが，$E$の$\ell$進Tate加群への作用も同じ文字で表すことにする（$\ell \ne p$は素数）．$\phi$の特性多項式を $$det(T-\phi )=(T-\alpha )(T-\beta )$$ とすると，$\alpha ,\beta \notin \mathbf{R}$が示され，よって共役な複素数となる．また，$\alpha \beta =det(\phi )=q$より，$|\alpha |=|\beta |=\sqrt{q}$. 一方， $$\mathrm{\#}E(\mathbf{F})=\mathrm{\#}E(\bar{\mathbf{F}}{)}^{\phi }=\mathrm{\#}\ker (1-\phi )=\mathrm{deg}(I-\phi )=1-\text{tr}(\phi )+q.$$ 特に$\text{tr}\phi :=\alpha +\beta$が有理整数である事も示される．以上から $$\text{tr}(\phi )=-\varphi (D).$$ （有限体上の楕円曲線について一般的なことは，J. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves (Graduate Texts in Mahtematics)のV章を参照．）

次に，$K$を虚2次体，$H$を$K$のHilbert類体とし，$E$を$H$上定義され$K$の整数環に虚数乗法を持つ楕円曲線とする．さらに，$K$の素イデアル $\mathfrak{p}$に対して，その上にある$H$の素イデアルを$\mathfrak{P}$と書き，$\mathfrak{P}$での$E$のreduction mod $\mathfrak{P}$を$\tilde{E}$と書くことにする．

すると，$H$で完全分解するような，$K$の殆どすべての1次の素イデアル$\mathfrak{p}$に対して，$K$の素元$\pi$で$(\pi )=\mathfrak{p}$なるもので，次の図式を可換にするものがただ一つ存在する： $$\begin{array}{ccc}E& \stackrel{[\pi ]}{\to }\phantom{}& E\\ \downarrow & & \downarrow \\ \tilde{E}& \stackrel{\phi }{\to }\phantom{}& \tilde{E},\end{array}$$ 縦の矢印はreduction mod $\mathfrak{P}$である．このとき写像の次数も保たれるので，$p=\mathrm{deg}\phi =\mathrm{deg}[\pi ]=N(\pi ).$ また$\mathrm{deg}(1-\phi )=\mathrm{deg}(1-\pi )=N(1-\pi )=(1-\pi )(1-{\pi }^{\prime })=1+p-(\pi +{\pi }^{\prime })$. 以上から， $$\text{tr}(\phi )=\pi +{\pi }^{\prime }.$$ （虚数乗法を持つ楕円曲線については，J. Silverman, Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves (Graduate Texts in Mathematics)のII章，§15, ならびに，D. Cox, Primes of the Form x + ny: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication (Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts)の§14-C参照．）

さて，$K=\mathbf{Q}(\sqrt{-1})$をGaussの数体とすれば$H=K$であり，$E:y^2=x^3+4x$は$K=\mathbf{Z}[\sqrt{-1}]$に虚数乗法を持つ．$p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$が$K$で分解していて（$p=\pi {\pi }^{\prime }$, $\pi =a+b\sqrt{-1}$），上の一般論から$\pi +{\pi }^{\prime }=2a$とJacobsthal和とが，$-\varphi (4)=2a$と関係付くのである．