Gauss和とJacobi和:mod 4で1の素数は2平方数の和

今日はGauss和とJacobi和を使った証明をご紹介します．

まず指標．$p$を素数として，$p$元体${\mathbf{F}}_p$の乗法群${\mathbf{F}}_p^{\times }$から複素数の乗法群${\mathbf{C}}^{\times }$への凖同型$\chi :{\mathbf{F}}_p^{\times }\to {\mathbf{C}}^{\times }$を法$p$の指標という．値は， 原始的とは限らない$1$の$p-1$乗根になる．例えば$\iota :{\mathbf{F}}_p^{\times }\ni t\mapsto 1\in \{1\}$は自明な指標, また法$p$の原始根$g$を$\exp (2\pi \sqrt{-1}/(p-1))$に対応させる写像から，位数が$p-1$の指標が定まる．法$p$の指標たちは値の積で群になり，これは${\mathbf{F}}_p^{\times }$と同型になる．

法$p$の指標$\chi$と$a\in {\mathbf{F}}_p$に対して $$g_a(\chi ):=\sum _{t\in {\mathbf{F}}_p}\chi (t){\zeta }^t,\zeta =\exp \left(\frac{2\pi \sqrt{-1}}{p}\right)$$ とおいて，これを$\chi$のGauss和という．簡単な計算で，$a\ne 0$,$\chi \ne \iota$なら$g_a(\chi )=\chi (a^{-1})g_1(\chi )$が分かる．以下$g_1(\chi )$を単に$g(\chi )$と書くことにする．重要な結果として，Gauss和の複素数としての絶対値を求めることができる： $$|g(\chi )|=\sqrt{p},(\chi \ne \iota ).$$

次にJacobi和を導入する．$\chi$, $\lambda$を法$p$の指標として $$J(\chi ,\lambda ):=\sum _{a+b=1}\chi (a)\lambda (b),$$ をJacobi和という．Gauss和との関係は$\chi \lambda \ne \iota$なら $$J(\chi ,\lambda )=\frac{g(\chi )g(\lambda )}{g(\chi \lambda )}.$$ すると，この二つから，Jacobi和の複素数としての絶対値が計算できる． $$\begin{array}{}\text{(*)}& |J(\chi ,\lambda )|=\sqrt{p}.\end{array}$$

さて，素数$p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$について$\chi$を法$p$の位数$4$の指標とする（指標群が位数$p-1$の巡回群だから，位数$4$の元が存在する．この指標は，$a\in {\mathbf{F}}_p$が$4$乗であるときに$1$になる，$4$乗剰余記号である）．すると$\chi$の値は$\{\pm 1,\pm \sqrt{-1}\}$である．よって$J(\chi ,\chi )$の値はGauss整数環$\mathbf{Z}[\sqrt{-1}]$の元．また，${\chi }^2\ne \iota$なので，上の$(\ast )$式からただちに $$p=|J(\chi ,\chi ){|}^2=a^2+b^2,(a,b\in \mathbf{Z}).$$

例えば$p=5$なら$g=2$に取れて，位数$4$の指標$\chi$は$g$を$\sqrt{-1}$に対応させるものである．$\chi (3)=-\sqrt{-1}$, $\chi (4)=-1$などからJacobi和を計算すると，$J(\chi ,\chi )=1-2\sqrt{-1}$となり，よって$5=1^2+2^2$である．

以上については，Ireland-Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory (Graduate Texts in Mathematics)の8章をご覧頂きたい．