木曜日はセミナ：相対類数の行列表示

木曜日は各週で，北陸数論セミナ．今日は虚Abel体の相対類数の行列表示の話だった．話題のうちの一つが，S. Jakubec, On some new estimates for $h^{-}(\mathbf{Q}({\zeta }_p))$, Acta Arith. 137(1), 43-50だった．

奇素数$p$に対して， $p$分体の相対類数の行列表示として，大変興味深い式： $$det{\left(\begin{array}{c}\left[\frac{(m+i)(m+j)}{p}\right]\end{array}\right)}_{1\le i,j\le m}=h^{-}(\mathbf{Q}({\zeta }_p)),m=\frac{p-1}{2}$$ が与えられている．

これまでも，虚Abel体の相対類数の行列表示は様々に与えられているが（そして今日のスピーカはその第一人者でもあるのだが）， このように簡潔（両辺に余分な因子がなく，行列に明らかな対称性がある）ものは寡聞にして知らない．

例えば，$p=23$とすると，右辺の行列は次のようになり，行列式は$-3$. 一方相対類数$h^{-}(\mathbf{Q}({\zeta }_{2}3)=3$である： $$\left(\begin{array}{rrrrrrrrrrr}5& 5& 6& 6& 7& 7& 8& 8& 9& 9& 10\\ 5& 6& 6& 7& 7& 8& 8& 9& 9& 10& 10\\ 6& 6& 7& 7& 8& 9& 9& 10& 10& 11& 11\\ 6& 7& 7& 8& 9& 9& 10& 10& 11& 12& 12\\ 7& 7& 8& 9& 9& 10& 11& 11& 12& 13& 13\\ 7& 8& 9& 9& 10& 11& 11& 12& 13& 13& 14\\ 8& 8& 9& 10& 11& 11& 12& 13& 14& 14& 15\\ 8& 9& 10& 10& 11& 12& 13& 14& 14& 15& 16\\ 9& 9& 10& 11& 12& 13& 14& 14& 15& 16& 17\\ 9& 10& 11& 12& 13& 13& 14& 15& 16& 17& 18\\ 10& 10& 11& 12& 13& 14& 15& 16& 17& 18& 19\end{array}\right).$$ 固有多項式は $$\begin{array}{rcl}& & x^{11}-123x^{10}+117x^9+458x^8-379x^7-564x^6+367x^5\\ & +& 282x^4-136x^3-55x^2+17x+3\end{array}$$ となり，根（上の行列の固有値）は $$\begin{array}{rcl}& & -1.349306837913897?,-0.8862492524610375?,-0.689774313572159?,\\ & & -0.5392223128470134?,-0.1399998491597839?,0.4845860700514344?,\\ & & 0.5371995268302057?,0.784021918674077?,1.300136124407612?,\\ & & 1.488097499367649?,122.01051142662292?\end{array}$$ だが，こういったものを見てもあまりぴんとこない……（例はすべてSageで計算した）．