木曜日はセミナ：相対類数の行列表示

木曜日は各週で，北陸数論セミナ．今日は虚Abel体の相対類数の行列表示の話だった．話題のうちの一つが，S. Jakubec, On some new estimates for $h^-(\mathbf{Q}(\zeta_p))$, Acta Arith. 137(1), 43-50だった．

奇素数$p$に対して， $p$分体の相対類数の行列表示として，大変興味深い式： \[ \det \begin{pmatrix} \left[ \frac{(m+i)(m+j)}{p} \right] \end{pmatrix}_{1\le i,\, j\le m} = h^-(\mathbf{Q}(\zeta_p)),\quad m=\frac{p-1}{2} \] が与えられている．

これまでも，虚Abel体の相対類数の行列表示は様々に与えられているが（そして今日のスピーカはその第一人者でもあるのだが）， このように簡潔（両辺に余分な因子がなく，行列に明らかな対称性がある）ものは寡聞にして知らない．

例えば，$p=23$とすると，右辺の行列は次のようになり，行列式は$-3$. 一方相対類数$h^-(\mathbf{Q}(\zeta_23)=3$である： \[ \left(\begin{array}{rrrrrrrrrrr} 5 & 5 & 6 & 6 & 7 & 7 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 \\ 5 & 6 & 6 & 7 & 7 & 8 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 \\ 6 & 6 & 7 & 7 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 11 & 11 \\ 6 & 7 & 7 & 8 & 9 & 9 & 10 & 10 & 11 & 12 & 12 \\ 7 & 7 & 8 & 9 & 9 & 10 & 11 & 11 & 12 & 13 & 13 \\ 7 & 8 & 9 & 9 & 10 & 11 & 11 & 12 & 13 & 13 & 14 \\ 8 & 8 & 9 & 10 & 11 & 11 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 \\ 8 & 9 & 10 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 16 \\ 9 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 14 & 15 & 16 & 17 \\ 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 \\ 10 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 \end{array}\right). \] 固有多項式は \begin{eqnarray*} &&x^{11} - 123 \, x^{10} + 117 \, x^{9} + 458 \, x^{8} - 379 \, x^{7} - 564 \, x^{6} + 367 \, x^{5} \\ &+& 282 \, x^{4} - 136 \, x^{3} - 55 \, x^{2}+ 17 \, x + 3 \end{eqnarray*} となり，根（上の行列の固有値）は \begin{eqnarray*} &&-1.349306837913897?, -0.8862492524610375?, -0.689774313572159?,\\ &&-0.5392223128470134?,-0.1399998491597839?, 0.4845860700514344?,\\ &&0.5371995268302057?, 0.784021918674077?,1.300136124407612?,\\ &&1.488097499367649?, 122.01051142662292? \end{eqnarray*} だが，こういったものを見てもあまりぴんとこない……（例はすべてSageで計算した）．